Inkreis von Dreiecken
Einstieg
Auf Is-land soll ein Naturschutzbereich eingerichtet werden. Dieser Bereich soll kreisförmig sein und die maximale Größe erreichen, die zwischen den Orten \(A\), \(B\) und \(C\) möglich ist. Im Zentrum soll für die Wildtiere eine Futterstation eingerichtet werden, die von allen Tieren gleichermaßen gut erreicht werden kann.
a) Verschiebe den Punkt \(M\) an eine Stelle, an der du das Zentrum des Naturschutzbereichs vermutest
b) Ändere den Radius \(r\) des Kreises, um die größtmögliche Fläche innerhalb des Dreiecks zu erreichen.
Erarbeitung
Aufgabe E1:
a) Zeichne einen beliebigen Winkel \(\alpha\) in dein Heft.
b) Bestimme mehrere Punkte auf jedem Schenkel: Verwende ein Lineal oder ein Geodreieck, um auf beiden Schenkeln Punkte zu markieren. .Auf beiden Seiten müssen diese Punkte jeweils den gleichen Abstand zum Scheitelpunkt besitzen.
c) Senkrechte markieren: Zeichne zu allen markierten Punkten eine Senkrechte zum Schenkel.
d) Benenne die geometrische Gemeinsamkeit aller gefundenen Punkte: Überlege, welche geometrische Figur die Schnttpunkte bilden. Beschreibe diese Figur in deinem Heft.
e) Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende ist eine zentrale geometrische Linie, die einen Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Sie besitzt wesentliche Eigenschaften, die sie in geometrischen Konstruktionen und Beweisen nützlich machen:
- Teilung des Winkels: Die Winkelhalbierende teilt den gegebenen Winkel genau in zwei gleich große Winkel.
- Äquidistanz: Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden hat den gleichen Abstand zu den beiden Schenkeln des Winkels.
Anleitung zur Konstruktion einer Winkelhalbierenden ohne Messen:
Um eine Wilnkelhalbierende eines Winkels \(\alpha\) ohne Messen zu konstruieren, kannst du folgende Schritte mit Zirkel und Lineal durchführen:
| Schritt | Erklärung | |
|---|---|---|
| 1. | Kreis um den Scheitelpunkt zeichnen | Mit dem Zirkel zeichnest du einen Kreis um den Scheitelpunkt des Winkels. Der Radius des Kreises kann beliebig gewählt werden. |
| 2. | Schnittpunkte markieren | Die Schnittpunkte des Kreises mit den beiden Schenkeln des Winkels werden markiert. |
| 3. | Zwei neue Kreise zeichnen | Um die beiden markierten Punkte zeichnest du mit dem Zirkel jeweils einen Kreis. Die Radien dieser beiden Kreise müssen gleich sein und so gewählt sein, dass sich die Kreise schneiden. |
| 4. | Winkelhalbierende zeichnen | Die Linie, die die beiden Schnittpunkte verbindet, wird mit dem Lineal als Gerade gezeichnet. Diese Gerade ist die Winkelhalbierende. |
Aufgabe 1: Zeichne die folgenden Winkel und konstruiere jeweils die Winkelhalbierenden mit gerader Kante und Zirkel.
| a) \( \alpha = 90^\circ \) | b) \( \alpha = 45^\circ \) | c) \( \alpha = 60^\circ \) | d) \( \alpha = 30^\circ \) |
| e) \( \alpha = 150^\circ \) | f) \( \alpha = 130^\circ \) | g) \( \alpha = 55^\circ \) | h) \( \alpha = 42^\circ \) |
| i) \( \alpha = 83^\circ \) | j) \( \alpha = 127^\circ \) | k) \( \alpha = 99^\circ \) | l) \( \alpha = 67^\circ \) |
Einstieg
Aufgbe 2: Auf Is-Land soll ein kreisförmiges Areal zwischen den Orten A, B und C gefunden werden. Das Bauamt möchte das größtmögliche Areal ausfindig machen.
a) Erkläre, wie man den optimalen Standort bestimmen kann.
b) Konstruiere den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und zeichne mit dem Zirkel den Inkreis ein.
\( b= 4\, \text{cm} \)
| \( c = 8\, \text{cm} \) | \(\alpha = 60^\circ\) |
c) Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Inkreis eines Dreiecks
Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der alle drei Seiten des Dreiecks von innen berührt. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Dieser Punkt ist der einzige Ort innerhalb des Dreiecks, der von allen drei Seiten den gleichen Abstand hat.
Bei jedem Dreieck liegt das Zentrum des Inkreises immer innerhalb des Dreiecks.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 3: Konstruiere die jewieligen Dreiecke und den zugehörigen Inkreis.
a) Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen 10.5 cm, 7.2 cm und 9.1 cm. Konstruiere anschließend den Inkreis dieses Dreiecks.
b) Konstruiere ein Dreieck mit den Seite 12.0 cm und 8.5 cm und dem eingeschlossenen Winkel von 60°. Konstruiere anschließend den Inkreis dieses Dreiecks.
c) Konstruiere ein Dreieck mit einem Winkel von 45°, einer anschließenden Seite von 11.3 cm und einem weiteren Winkel von 30°. Konstruiere anschließend den Inkreis dieses Dreiecks.
d) Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen 8.8 cm, 6.6 cm und 5.4 cm. Konstruiere anschließend den Inkreis dieses Dreiecks.
e) Konstruiere ein Dreieck mit den Seite 9.5 cm und 10.2 cm und dem eingeschlossenen Winkel von 75°. Konstruiere anschließend den Inkreis dieses Dreiecks.
f) Konstruiere ein Dreieck mit einem Winkel von 50°, einer anschließenden Seite von 8.3 cm und einem weiteren Winkel von 45°. Konstruiere anschließend den Inkreis dieses Dreiecks.
g) Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen 13.5 cm, 11.0 cm und 7.5 cm. Konstruiere anschließend den Inkreis dieses Dreiecks.