Würfel
Definition: Prisma
Ein Prisma ist ein Körper mit zwei kongruenten und parallelen Grundflächen. Die übrigen Flächen bilden den Mantel und sind bei einem geraden Prisma Rechtecke.
Hat die Grundfläche n Ecken, dann besitzt das Prisma insgesamt 2n Ecken, 3n Kanten und n + 2 Flächen.
Die beiden Grundflächen sind deckungsgleich. Die Kanten zwischen Grund- und Deckfläche sind bei einem geraden Prisma parallel und gleich lang. Ihre gemeinsame Länge entspricht der Höhe h des Prismas.
Netz
Ein Netz entsteht, wenn man die Oberfläche eines Körpers gedanklich aufschneidet und flach ausbreitet. Aus diesem Netz kann man den Körper wieder zusammenfalten.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Bestimme die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen sowie die vorkommenden Flächen.
a) Dreiecksprisma.
b) Quadratprisma.
c) Rechteckprisma.
d) Fünfeckprisma.
e) Sechseckprisma.
f) Achteckprisma.
g) Trapezprisma.
h) Parallelogrammprisma.
i) Rhombusprisma.
j) Drachenprisma.
k) Siebeneckprisma.
l) Neuneckprisma.
m) "Kreisprisma".
n) Ungleichmäßiges Fünfeckprisma.
o) Symmetrisches Trapezprisma.
Aufgabe 2: Bestimme die Form der Grundfläche, die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen sowie die vorkommenden Flächen.
a) 9 Kanten
b) 12 Kanten und alle Kanten gleich lang
c) 15 Kanten
d) 18 Kanten
e) 8 Ecken
f) 10 Ecken
g) 14 Ecken
h) 16 Ecken
i) 5 Flächen
j) 6 Flächen, zwei davon Quadrate
k) 6 Flächen, zwei davon Dreiecke
l) 8 Flächen
m) 21 Kanten
n) 9 Kanten, alle gleich lang
o) 12 Kanten, Grundfläche ist ein Viereck mit ein Paar parallelen Seiten
Definition: Volumen des Prismas
Das Volumen eines Prismas berechnet man, indem man den Flächeninhalt der Grundfläche \(G\) mit der Höhe \(h\) des Prismas multipliziert.
\[V = G \cdot h\]
Dabei steht \(G\) für den Flächeninhalt der Grundfläche. Dieser wird mit der passenden Flächenformel berechnet. Je nach Form der Grundfläche kann das zum Beispiel die Formel für ein Dreieck, Rechteck, Trapez oder regelmäßiges Vieleck sein.
Die Prismenhöhe \(h\) ist der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche.
Aufgabe 1: Berechne das Volumen des Prismas.
| Gegeben | Rechnung |
|---|---|
\(G = 24\,\text{cm}^2\) \(h = 8\,\text{cm}\) | \[ \begin{aligned} V &= G \cdot h\\ V &= 24\,\text{cm}^2 \cdot 8\,\text{cm}\\ V &= 192\,\text{cm}^3 \end{aligned} \] |
Antwort: | Das Prisma hat ein Volumen von \(\mathbf{192\,\text{cm}^3}\). |
| Aufgabe | Grundfläche \(G\) | Höhe \(h\) |
|---|---|---|
| a) | \(18\,\text{cm}^2\) | \(7\,\text{cm}\) |
| b) | \(35\,\text{cm}^2\) | \(6\,\text{cm}\) |
| c) | \(42\,\text{cm}^2\) | \(9\,\text{cm}\) |
| d) | \(64\,\text{cm}^2\) | \(5\,\text{cm}\) |
| e) | \(27\,\text{dm}^2\) | \(4\,\text{dm}\) |
| f) | \(15\,\text{m}^2\) | \(12\,\text{m}\) |
| g) | \(48\,\text{mm}^2\) | \(10\,\text{mm}\) |
| h) | \(72\,\text{cm}^2\) | \(2{,}5\,\text{cm}\) |
Aufgabe 2: Berechne die gesuchte Größe.
| Gesucht: Höhe \(h\) | Rechnung |
|---|---|
\(V = 240\,\text{cm}^3\) \(G = 30\,\text{cm}^2\) | \[ \begin{aligned} V &= G \cdot h\\ 240\,\text{cm}^3 &= 30\,\text{cm}^2 \cdot h\\ h &= \frac{240\,\text{cm}^3}{30\,\text{cm}^2}\\ h &= 8\,\text{cm} \end{aligned} \] |
Antwort: | Das Prisma ist \(\mathbf{8\,\text{cm}}\) hoch. |
| Aufgabe | Volumen \(V\) | gegeben | gesucht |
|---|---|---|---|
| a) | \(180\,\text{cm}^3\) | \(G = 30\,\text{cm}^2\) | \(h\) |
| b) | \(315\,\text{cm}^3\) | \(G = 45\,\text{cm}^2\) | \(h\) |
| c) | \(480\,\text{cm}^3\) | \(h = 8\,\text{cm}\) | \(G\) |
| d) | \(252\,\text{cm}^3\) | \(h = 6\,\text{cm}\) | \(G\) |
| e) | \(144\,\text{dm}^3\) | \(G = 24\,\text{dm}^2\) | \(h\) |
| f) | \(275\,\text{m}^3\) | \(h = 5\,\text{m}\) | \(G\) |
| g) | \(360\,\text{mm}^3\) | \(G = 45\,\text{mm}^2\) | \(h\) |
| h) | \(210\,\text{cm}^3\) | \(h = 3{,}5\,\text{cm}\) | \(G\) |
Aufgabe 3: Berechne das Volumen des Prismas.
Berechne zuerst den Flächeninhalt \(G\) der Grundfläche. Verwende anschließend die Formel \[ V = G \cdot h. \]
| Gegeben | Rechnung |
|---|---|
Grundfläche: Parallelogramm \(g = 8\,\text{cm}\) \(h_g = 5\,\text{cm}\) Prismenhöhe: \(h = 12\,\text{cm}\) | \[ \begin{aligned} G &= g \cdot h_g\\ G &= 8\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm}\\ G &= 40\,\text{cm}^2\\[4pt] V &= G\cdot h\\ V &= 40\,\text{cm}^2\cdot 12\,\text{cm}\\ V &= 480\,\text{cm}^3 \end{aligned} \] |
Antwort: | Das Prisma hat ein Volumen von \(\mathbf{480\,\text{cm}^3}\). |
| Aufgabe | Grundfläche | Maße der Grundfläche | Prismenhöhe \(h\) |
|---|---|---|---|
| a) | Rechteck | \(a=7\,\text{cm}\), \(b=4\,\text{cm}\) | \(9\,\text{cm}\) |
| b) | Dreieck | \(g=10\,\text{cm}\), \(h_g=6\,\text{cm}\) | \(8\,\text{cm}\) |
| c) | Parallelogramm | \(g=12\,\text{cm}\), \(h_g=5\,\text{cm}\) | \(7\,\text{cm}\) |
| d) | Trapez | \(a=8\,\text{cm}\), \(c=14\,\text{cm}\), \(h_g=5\,\text{cm}\) | \(6\,\text{cm}\) |
| e) | Dreieck | \(g=9\,\text{dm}\), \(h_g=4\,\text{dm}\) | \(10\,\text{dm}\) |
| f) | Rechteck | \(a=6{,}5\,\text{m}\), \(b=4\,\text{m}\) | \(3\,\text{m}\) |
| g) | Parallelogramm | \(g=15\,\text{mm}\), \(h_g=8\,\text{mm}\) | \(12\,\text{mm}\) |
| h) | Trapez | \(a=6\,\text{cm}\), \(c=10\,\text{cm}\), \(h_g=4\,\text{cm}\) | \(7{,}5\,\text{cm}\) |
Definition: Oberflächeninhalt eines Prismas
Der Oberflächeninhalt eines Prismas besteht aus den beiden kongruenten Grundflächen und der Mantelfläche \(M\).
\[O = 2 \cdot G + M\]
Die Mantelfläche erhält man, indem man den Umfang \(u\) der Grundfläche mit der Höhe \(h\) des Prismas multipliziert:
\[M = u \cdot h\]
Dabei ist \(G\) der Flächeninhalt der Grundfläche, \(u\) ihr Umfang und \(h\) die Höhe des Prismas.
Aufgabe 3: Berechne den Oberflächeninhalt der folgenden Prismen.
| a) Quader \(a = 6\,\text{cm}\) \(b = 4\,\text{cm}\) \(h = 10\,\text{cm}\) |
| b) Würfel \(a = 5\,\text{cm}\) |
| c) Dreiecksprisma Grundfläche: \(g = 6\,\text{cm}\) \(h_g = 4\,\text{cm}\) weitere Seiten: \(5\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\) Prismenhöhe: \(h = 8\,\text{cm}\) |
| d) Prisma mit parallelogrammförmiger Grundfläche Grundfläche: \(g = 8\,\text{cm}\) \(h_g = 3\,\text{cm}\) Seitenlänge \(b = 5\,\text{cm}\) Prismenhöhe: \(h = 7\,\text{cm}\) |
Beispiel
Beispiel: Ein Prisma besitzt eine dreieckige Grundfläche. Das Dreieck hat die Seitenlängen \(5\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). Zur Seite \(g=6\,\text{cm}\) gehört die Höhe \(h_g=4\,\text{cm}\). Die Höhe des Prismas beträgt \(h=10\,\text{cm}\). Berechne den Oberflächeninhalt.
1. Grundfläche berechnen:
\[ \begin{aligned} G &= \frac{g\cdot h_g}{2}\\ G &= \frac{6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}}{2}\\ G &= 12\,\text{cm}^2 \end{aligned} \]
2. Umfang der Grundfläche berechnen:
\[ \begin{aligned} u &= a+b+c\\ u &= 5\,\text{cm}+5\,\text{cm}+6\,\text{cm}\\ u &= 16\,\text{cm} \end{aligned} \]
3. Mantelfläche berechnen:
\[ \begin{aligned} M &= u\cdot h\\ M &= 16\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\\ M &= 160\,\text{cm}^2 \end{aligned} \]
4. Oberflächeninhalt berechnen:
\[ \begin{aligned} O &= 2\cdot G+M\\ O &= 2\cdot12\,\text{cm}^2+160\,\text{cm}^2\\ O &= 184\,\text{cm}^2 \end{aligned} \]
Das Prisma hat einen Oberflächeninhalt von \(\mathbf{184\,\text{cm}^2}\).
Aufgabe 1: Berechne den Oberflächeninhalt \(O\).
| a) \(G = 24\,\text{cm}^2\), \(M = 80\,\text{cm}^2\) |
| b) \(G = 35\,\text{cm}^2\), \(M = 120\,\text{cm}^2\) |
| c) \(G = 18\,\text{cm}^2\), \(u = 16\,\text{cm}\), \(h = 7\,\text{cm}\) |
| d) \(G = 42\,\text{cm}^2\), \(u = 22\,\text{cm}\), \(h = 5\,\text{cm}\) |
| e) \(G = 28\,\text{dm}^2\), \(M = 96\,\text{dm}^2\) |
| f) \(G = 15\,\text{m}^2\), \(u = 18\,\text{m}\), \(h = 4\,\text{m}\) |
Aufgabe 2: Berechne die fehlende Größe.
| a) \(O = 180\,\text{cm}^2\), \(G = 30\,\text{cm}^2\), gesucht: \(M\) |
| b) \(O = 164\,\text{cm}^2\), \(M = 100\,\text{cm}^2\), gesucht: \(G\) |
| c) \(O = 190\,\text{cm}^2\), \(G = 35\,\text{cm}^2\), \(h = 6\,\text{cm}\), gesucht: \(u\) |
| d) \(O = 220\,\text{cm}^2\), \(G = 38\,\text{cm}^2\), \(u = 24\,\text{cm}\), gesucht: \(h\) |
| e) Rechteckige Grundfläche: \(O = 236\,\text{cm}^2\), \(a = 7\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\), gesucht: Prismenhöhe \(h\) |
| f) Parallelogramm als Grundfläche: \(O = 230\,\text{cm}^2\), \(g = 8\,\text{cm}\), \(h_g = 3\,\text{cm}\), Prismenhöhe \(h = 7\,\text{cm}\), gesucht: Seitenlänge \(b\) |
Aufgabe 3: Berechne den Oberflächeninhalt der folgenden Prismen.
| a) Quader Grundfläche: Rechteck \(a = 6\,\text{cm}\) \(b = 4\,\text{cm}\) Prismenhöhe: \(h = 9\,\text{cm}\) |
| b) Würfel \(a = 5\,\text{cm}\) |
| c) Dreiecksprisma Grundfläche: Dreieck \(g = 8\,\text{cm}\) \(h_g = 3\,\text{cm}\) weitere Seiten: \(5\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\) Prismenhöhe: \(h = 10\,\text{cm}\) |
| d) Prisma mit parallelogrammförmiger Grundfläche \(g = 9\,\text{cm}\) \(h_g = 4\,\text{cm}\) Seitenlänge \(b = 6\,\text{cm}\) Prismenhöhe: \(h = 8\,\text{cm}\) |
Aufgabe 4 – Sachaufgaben zu Prismen
Lies die Aufgaben sorgfältig. Entscheide selbst, welche Größen du benötigst, und führe eine vollständige Rechnung durch.
- Eine rechteckige Aufbewahrungsbox ist innen \(40\,\text{cm}\) lang, \(25\,\text{cm}\) breit und \(30\,\text{cm}\) hoch. Wie viele Liter passen maximal in die Box?
- Ein quaderförmiges Paket ist \(30\,\text{cm}\) lang, \(20\,\text{cm}\) breit und \(12\,\text{cm}\) hoch. Es soll vollständig mit Geschenkpapier umhüllt werden. Wie viel Geschenkpapier wird mindestens benötigt?
- Eine \(2{,}5\,\text{m}\) hohe Säule besitzt eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von \(40\,\text{cm}\). Nur die vier Seitenflächen sollen gestrichen werden. Wie groß ist die zu streichende Fläche?
- Ein Wasserbecken hat eine Grundfläche von \(12\,\text{m}^2\). Es enthält \(18\,\text{m}^3\) Wasser. Wie hoch steht das Wasser im Becken?
- Eine Packung Schokolade hat die Form eines Dreiecksprismas. Die dreieckige Grundfläche besitzt eine Grundseite von \(6\,\text{cm}\) und die zugehörige Höhe beträgt \(4\,\text{cm}\). Die Packung ist \(25\,\text{cm}\) lang. Wie viel Rauminhalt besitzt die Packung?
- Ein dreieckiger Holzbalken ist \(2\,\text{m}\) lang. Seine Grundfläche ist ein Dreieck mit den Seitenlängen \(5\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). Die Höhe zur \(6\,\text{cm}\) langen Seite beträgt \(4\,\text{cm}\). Wie groß ist die gesamte Oberfläche des Balkens?
- Für die Seitenflächen einer geraden Säule werden \(9{,}6\,\text{m}^2\) Verkleidung benötigt. Der Umfang der Grundfläche beträgt \(4{,}8\,\text{m}\). Wie hoch ist die Säule?
- Ein Prisma besitzt eine Grundfläche von \(35\,\text{cm}^2\). Seine gesamte Oberfläche beträgt \(310\,\text{cm}^2\). Wie groß ist die Mantelfläche?
- Ein gerades Prisma besitzt eine parallelogrammförmige Grundfläche. Die Grundseite des Parallelogramms ist \(8\,\text{cm}\) lang, die zugehörige Höhe beträgt \(3\,\text{cm}\). Die zweite Seitenlänge des Parallelogramms beträgt \(5\,\text{cm}\). Das Prisma ist \(12\,\text{cm}\) hoch. Wie groß ist seine Oberfläche?
- Ein \(80\,\text{cm}\) langes Aquarium hat eine rechteckige Grundfläche mit einer Breite von \(35\,\text{cm}\). Es sollen \(84\,\text{Liter}\) Wasser eingefüllt werden. Wie hoch steht das Wasser?
Aufgabe 5 – Bühne im Veranstaltungsraum
In einem Veranstaltungsraum wird für eine Feier eine Bühne mit einer kleinen Treppe aufgebaut.
Der Raum ist \(12\,\text{m}\) lang, \(8\,\text{m}\) breit und \(4\,\text{m}\) hoch.
Die eigentliche Bühne ist \(6\,\text{m}\) breit, \(4\,\text{m}\) tief und \(0{,}8\,\text{m}\) hoch.
Vor der Bühne befindet sich eine Treppe mit drei gleich hohen Stufen. Jede Stufe ist \(2\,\text{m}\) breit und \(0{,}4\,\text{m}\) tief. Die einzelnen Stufen sind \(0{,}2\,\text{m}\), \(0{,}4\,\text{m}\) und \(0{,}6\,\text{m}\) hoch.
Berechne, welchen prozentualen Anteil des Raumvolumens der gesamte Bühnenaufbau einnimmt.