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Zentrische Streckung

Einstieg

Aufgabe E1: [DOWNLOAD]

a) Untersuche, wie sich das Bildobjekt verändert, wenn der Streckungszentrumspunkt \(Z\) verschoben wird.

b) Beschreibe, welche Auswirkungen die Verschiebung des Punktes \(Z\) auf die Position, die Größe und die Form des Bildobjekts hat.

c) Erkläre, wie die Streckenlängen im Originaldreieck und Bilddreieck vom Streckungsfaktor \(k\) abhängen.

d) Untersuche, was geschieht, wenn der Streckungsfaktor \(k\) kleine oder negative Werte annimmt.

Definition: Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung ist eine geometrische Abbildung, bei der alle Punkte einer Figur von einem festen Punkt, dem Streckungszentrum \(Z\), ausgehend entlang einer Linie gestreckt oder verkürzt werden. 

Der Streckungsfaktor \(k\) bestimmt, ob die Figur 

  • vergrößert (\(k>1\)), 
  • verkleinert (\(0<k<1\)), 
  • oder gespiegelt (\(k<0\)) 

wird. Dabei bleiben die Form und die Winkel der Figur erhalten, nur die Größe ändert sich. Das Ergebnis ist eine ähnliche Figur zur Ausgangsfigur, skaliert durch den Faktor \(k\).

Aufgaben / Übung

Aufgabe 1:

a)
Gegeben ist das Dreieck \( ABC \) mit den Koordinaten \( A(1, 2) \), \( B(4, 2) \) und \( C(3, 5) \). Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem ein. Führe eine zentrische Streckung des Dreiecks mit dem Streckungszentrum \( Z(0, 0) \) und dem Streckungsfaktor \( k = 2 \) durch. Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte \( A' \), \( B' \) und \( C' \).

b)
Konstruiere ein beliebiges Dreieck \( ABC \) auf einem Blatt Papier. Wähle einen Punkt \( Z \) außerhalb des Dreiecks als Streckungszentrum. Führe eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor \( k = \frac{1}{2} \) durch und konstruiere das Bilddreieck \( A'B'C' \). Vergleiche die Seitenlängen und Winkel im Originaldreieck und Bilddreieck.

c)
Im Koordinatensystem ist das Quadrat \( PQRS \) mit den Eckpunkten \( P(-1, 1) \), \( Q(1, 1) \), \( R(1, -1) \) und \( S(-1, -1) \) gegeben. Führe eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor \( k = -1 \) und dem Streckungszentrum \( Z(0, 0) \) durch. Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte \( P' \), \( Q' \), \( R' \) und \( S' \).

Aufgabe 2:

a)
Zeichne das Dreieck \( ABC \) mit den Eckpunkten \( A(2, 3) \), \( B(6, 3) \) und \( C(4, 7) \) in ein Koordinatensystem ein. Wähle den Punkt \( Z(4, 3) \) als Streckungszentrum und führe eine zentrische Streckung mit \( k = -\frac{1}{2} \) durch. Konstruiere das Bilddreieck \( A'B'C' \) und beschreibe die Lage der Bildpunkte im Vergleich zu den Originalpunkten.

b)
Konstruiere das Dreieck \( DEF \) mit den Seitenlängen \( DE = 6 \, \text{cm} \), \( EF = 8 \, \text{cm} \) und \( FD = 7 \, \text{cm} \). Wähle das Streckungszentrum \( Z \) als den Punkt \( D \). Führe eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor \( k = \frac{3}{2} \) durch. Zeichne das Bilddreieck \( D'E'F' \) und ermittle die Seitenlängen im Bilddreieck.

c)
Das Dreieck \( GHI \) hat die Koordinaten \( G(-3, 2) \), \( H(-1, 5) \), \( I(2, 1) \). Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem und bestimme die Koordinaten der Bildpunkte \( G' \), \( H' \), und \( I' \) nach einer zentrischen Streckung mit dem Streckungszentrum \( Z(0, 0) \) und dem Streckungsfaktor \( k = \frac{2}{3} \).

Aufgabe 3:

a)
Zeichne das Rechteck \( ABCD \) mit den Seitenlängen \( AB = 4 \, \text{cm} \) und \( BC = 6 \, \text{cm} \) in ein Koordinatensystem. Führe eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor \( k = -2 \) durch, wobei \( Z \) der Punkt \( A \) ist. Bestimme die neuen Koordinaten der Eckpunkte und zeichne das Bildrechteck \( A'B'C'D' \).

b)
Das Dreieck \( JKL \) hat die Koordinaten \( J(1, 1) \), \( K(5, 1) \), \( L(3, 4) \). Führe eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor \( k = 1,5 \) durch, wobei der Punkt \( Z(0, 0) \) das Streckungszentrum ist. Zeichne sowohl das Originaldreieck als auch das Bilddreieck in ein Koordinatensystem.

c)
Konstruiere das Dreieck \( MNO \) mit den Eckpunkten \( M(2, 2) \), \( N(5, 2) \), \( O(4, 6) \) in einem Koordinatensystem. Wähle den Punkt \( Z \) als den Mittelpunkt der Strecke \( MO \) und führe eine zentrische Streckung mit \( k = 0,5 \) durch. Zeichne das Bilddreieck \( M'N'O' \) und vergleiche die Winkel des Original- und Bilddreiecks.

Aufgabe 4:

a)
Ein Dreieck \( PQR \) mit den Koordinaten \( P(1, 4) \), \( Q(4, 4) \), \( R(3, 7) \) soll zentrisch gestreckt werden. Das Streckungszentrum liegt bei \( Z(2, 2) \), und der Streckungsfaktor beträgt \( k = 2 \). Berechne die neuen Koordinaten der Punkte und zeichne das Bilddreieck \( P'Q'R' \) in ein Koordinatensystem.

b)
Gegeben ist das Rechteck \( STUV \) mit den Seitenlängen \( ST = 5 \, \text{cm} \) und \( TU = 7 \, \text{cm} \). Wähle das Streckungszentrum \( Z \) als den Mittelpunkt der Strecke \( SV \). Führe eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor \( k = \frac{3}{4} \) durch. Zeichne das Bildrechteck \( S'T'U'V' \) und berechne die neuen Seitenlängen.

c)
Zeichne das Parallelogramm \( WXYZ \) mit den Eckpunkten \( W(2, 2) \), \( X(6, 2) \), \( Y(7, 5) \), \( Z(3, 5) \) in ein Koordinatensystem. Führe eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor \( k = -\frac{1}{3} \) durch, wobei das Streckungszentrum \( Z \) der Punkt \( X \) ist. Zeichne das Bildparallelogramm \( W'X'Y'Z' \) und vergleiche es mit dem Originalparallelogramm.

Definition: Ähnlichkeitssatz

Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn ihre entsprechenden Winkel gleich groß sind. Das bedeutet, dass ihre Formen identisch sind, aber die Größen unterschiedlich sein können. In diesem Fall stehen die entsprechenden Seiten der beiden Dreiecke im gleichen Verhältnis zueinander.

Ähnlichkeitssatz

Kongruenzsatz

WWW

SSS, WSW, SWS, SsW

Flächeninhalt und Umfang ähnlicher Figuren

Zwei Figuren sind mit dem Streckungsfaktor \(k\)  ähnlich zueinander.

Figur 1 besitzt den Flächeninhalt \(A\) und den Umfang \(u\).

Figur 2 besitzt den Flächeninhalt \(A'\) und den Umfang \(u'\).

Flächeninhalt

Umfang

\[A' = k^2 \cdot A\]\[u' = k \cdot u\]

Aufgabe 5: 

Die Winkel eines Dreiecks \( ABC \) betragen \( \alpha = 30^\circ \), \( \beta = 60^\circ \) und \( \gamma = 90^\circ \). Die Winkel eines zweiten Dreiecks \( DEF \) betragen ebenfalls \( \alpha' = 30^\circ \), \( \beta' = 60^\circ \) und \( \gamma' = 90^\circ \). Begründe, warum die Dreiecke \( ABC \) und \( DEF \) ähnlich zueinander sind, und bestimme die Länge der Seite \( DE \), wenn \( AB = 5 \, \text{cm} \) und \( DE = 7,5 \, \text{cm} \).

Aufgabe 6: 

In einem Dreieck \( ABC \) sind die Seitenlängen \( AB = 4 \, \text{cm} \), \( BC = 6 \, \text{cm} \), und \( CA = 8 \, \text{cm} \). Ein zweites Dreieck \( DEF \) hat die Seitenlängen \( DE = 6 \, \text{cm} \), \( EF = 9 \, \text{cm} \), und \( FD = 12 \, \text{cm} \). Zeige, dass die Dreiecke \( ABC \) und \( DEF \) zueinander ähnlich sind. Berechne anschließend die Höhe des Dreiecks \( DEF \) auf die Seite \( DE \), wenn die entsprechende Höhe des Dreiecks \( ABC \) auf die Seite \( AB \) 3 cm beträgt.

Aufgabe 7: Gegeben sind zwei Dreiecke \( GHI \) und \( JKL \). Die Seitenlängen von \( GHI \) sind \( GH = 5 \, \text{cm} \), \( HI = 7 \, \text{cm} \), und \( IG = 10 \, \text{cm} \). Die Seitenlängen von \( JKL \) sind \( JK = 7,5 \, \text{cm} \), \( KL = 10,5 \, \text{cm} \), und \( LJ = 15 \, \text{cm} \). Begründe, warum diese Dreiecke zueinander ähnlich sind, und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks \( JKL \), wenn der Flächeninhalt des Dreiecks \( GHI \) 17,5 \(\text{cm}^2\) beträgt.
Aufgabe 8: Ein Dreieck \( MNO \) hat die Seitenlängen \( MN = 6 \, \text{cm} \), \( NO = 8 \, \text{cm} \), und \( OM = 10 \, \text{cm} \). Ein weiteres Dreieck \( PQR \) hat die Seitenlängen \( PQ = 9 \, \text{cm} \), \( QR = 12 \, \text{cm} \), und \( RP = 15 \, \text{cm} \). Untersuche, ob die Dreiecke \( MNO \) und \( PQR \) ähnlich zueinander sind. Wenn ja, bestimme den Maßstab der Ähnlichkeit.
Aufgabe 9: In einem Dreieck \( ABC \) beträgt die Länge der Seite \( AB = 5 \, \text{cm} \), der Winkel bei \( A \) beträgt \( 50^\circ \) und die Länge der Seite \( AC = 6 \, \text{cm} \). In einem weiteren Dreieck \( DEF \) sind die entsprechenden Maße \( DE = 7,5 \, \text{cm} \), der Winkel bei \( D \) beträgt \( 50^\circ \) und die Länge der Seite \( DF = 6 \, \text{cm} \). Zeige, dass die Dreiecke \( ABC \) und \( DEF \) ähnlich sind, und berechne die Länge der Seite \( EF \).
Aufgabe 10: Ein gleichseitiges Dreieck \( XYZ \) hat die Seitenlängen \( XY = 6 \, \text{cm} \), \( YZ = 6 \, \text{cm} \) und \( ZX = 6 \, \text{cm} \). Ein weiteres gleichseitiges Dreieck \( ABC \) hat die Seitenlängen \( AB = 9 \, \text{cm} \), \( BC = 9 \, \text{cm} \) und \( CA = 9 \, \text{cm} \). Begründe, warum die Dreiecke \( XYZ \) und \( ABC \) zueinander ähnlich sind, und bestimme den Maßstab der Ähnlichkeit.
Aufgabe 11: In einem Dreieck \( PQR \) sind die Winkel \( \alpha = 45^\circ \), \( \beta = 60^\circ \), und \( \gamma = 75^\circ \). In einem weiteren Dreieck \( STU \) sind die Winkel \( \alpha' = 45^\circ \), \( \beta' = 60^\circ \), und \( \gamma' = 75^\circ \). Zeige, dass diese Dreiecke ähnlich sind. Berechne die Länge der Seite \( ST \), wenn \( PQ = 5 \, \text{cm} \) und \( ST = 7,5 \, \text{cm} \).
Aufgabe 12: Zwei Dreiecke \( RST \) und \( UVW \) haben jeweils einen rechten Winkel. Die Seitenlängen des Dreiecks \( RST \) sind \( RS = 9 \, \text{cm} \), \( ST = 12 \, \text{cm} \), und \( TR = 15 \, \text{cm} \). Die Seitenlängen des Dreiecks \( UVW \) sind \( UV = 6 \, \text{cm} \), \( VW = 8 \, \text{cm} \), und \( WU = 10 \, \text{cm} \). Begründe, warum die Dreiecke \( RST \) und \( UVW \) ähnlich sind, und berechne den Flächeninhalt von \( UVW \), wenn der Flächeninhalt von \( RST \) 54 \(\text{cm}^2\) beträgt.
Aufgabe 13: In einem Dreieck \( A'B'C' \) sind die Seitenlängen \( A'B' = 6 \, \text{cm} \), \( B'C' = 8 \, \text{cm} \), und \( C'A' = 10 \, \text{cm} \). Ein weiteres Dreieck \( XYZ \) hat die Seitenlängen \( XY = 12 \, \text{cm} \), \( YZ = 16 \, \text{cm} \), und \( ZX = 20 \, \text{cm} \). Zeige, dass die Dreiecke \( A'B'C' \) und \( XYZ \) ähnlich sind, und bestimme den Maßstab der Ähnlichkeit.
Aufgabe 14: Ein Dreieck \( DEF \) hat die Seitenlängen \( DE = 8 \, \text{cm} \), \( EF = 10 \, \text{cm} \), und \( FD = 12 \, \text{cm} \). Ein weiteres Dreieck \( GHJ \) hat die Seitenlängen \( GH = 4 \, \text{cm} \), \( HJ = 5 \, \text{cm} \), und \( JG = 6 \, \text{cm} \). Begründe, warum die Dreiecke \( DEF \) und \( GHJ \) ähnlich sind. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks \( DEF \), wenn der Flächeninhalt von \( GHJ \) 10 \(\text{cm}^2\) beträgt.
Aufgabe 15: Ein Dreieck \( KLM \) hat die Seitenlängen \( KL = 6 \, \text{cm} \), \( LM = 8 \, \text{cm} \), und \( MK = 10 \, \text{cm} \). Ein weiteres Dreieck \( OPQ \) hat die Seitenlängen \( OP = 9 \, \text{cm} \), \( PQ = 12 \, \text{cm} \), und \( QO = 15 \, \text{cm} \). Zeige, dass die Dreiecke \( KLM \) und \( OPQ \) ähnlich sind, und berechne den Maßstab der Ähnlichkeit.
Aufgabe 16: Gegeben sind die Winkel \( \alpha = 30^\circ \), \( \beta = 60^\circ \), und \( \gamma = 90^\circ \) in einem Dreieck \( STU \). Ein weiteres Dreieck \( VWX \) hat die Winkel \( \alpha' = 30^\circ \), \( \beta' = 60^\circ \), und \( \gamma' = 90^\circ \). Begründe, warum diese Dreiecke ähnlich sind. Wenn die Seite \( ST = 5 \, \text{cm} \) und die Seite \( VW = 10 \, \text{cm} \) sind, berechne die Länge der Seite \( WX \).