Zentrische Streckung
Einstieg
Aufgabe E1: [DOWNLOAD]
a) Untersuche, wie sich das Bildobjekt verändert, wenn der Streckungszentrumspunkt \(Z\) verschoben wird.
b) Beschreibe, welche Auswirkungen die Verschiebung des Punktes \(Z\) auf die Position, die Größe und die Form des Bildobjekts hat.
c) Erkläre, wie die Streckenlängen im Originaldreieck und Bilddreieck vom Streckungsfaktor \(k\) abhängen.
d) Untersuche, was geschieht, wenn der Streckungsfaktor \(k\) kleine oder negative Werte annimmt.
Definition: Zentrische Streckung
Die zentrische Streckung ist eine geometrische Abbildung, bei der alle Punkte einer Figur von einem festen Punkt, dem Streckungszentrum \(Z\), ausgehend entlang einer Linie gestreckt oder verkürzt werden.
Der Streckungsfaktor \(k\) bestimmt, ob die Figur
- vergrößert (\(k>1\)),
- verkleinert (\(0<k<1\)),
- oder gespiegelt (\(k<0\))
wird. Dabei bleiben die Form und die Winkel der Figur erhalten, nur die Größe ändert sich. Das Ergebnis ist eine ähnliche Figur zur Ausgangsfigur, skaliert durch den Faktor \(k\).
Aufgaben / Übung [TIMER:2400]
[TASK{Mathematik 9}{Stundenaufgabe}:Ah;26;1-3;Lb;68;3;Lb**;69;4-5]
[TASK{Mathematik 9}{Hausaufgabe}:Ah;26;4]
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Zentrische Streckung im Koordinatensystem
Zeichne die angegebenen Figuren in ein Koordinatensystem. Strecke sie jeweils mit dem Streckungszentrum \(Z\) und dem Streckungsfaktor \(k\). Zeichne die Bildfiguren und bestimme die Koordinaten aller Bildpunkte.
| a) \(\triangle ABC\) | b) \(\square ABCD\) | |
| \(A\) | \((1\mid 2)\) | \((-1\mid 1)\) |
| \(B\) | \((4\mid 2)\) | \((1\mid 1)\) |
| \(C\) | \((3\mid 5)\) | \((1\mid -1)\) |
| \(D\) | – | \((-1\mid -1)\) |
| \(Z\) | \((0\mid 0)\) | \((0\mid 0)\) |
| \(k\) | \(2\) | \(-1\) |
Aufgabe 2: Freie Konstruktion
Zeichne ein beliebiges Dreieck \(ABC\). Wähle einen Punkt \(Z\) außerhalb des Dreiecks als Streckungszentrum. Konstruiere das Bilddreieck \(A'B'C'\) mit dem Streckungsfaktor \(k=\frac{1}{2}\). Vergleiche die entsprechenden Seitenlängen und Winkel.
Aufgabe 3: Negative Streckungsfaktoren
Zeichne die angegebenen Figuren in ein Koordinatensystem. Führe jeweils eine zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum \(Z\) und dem Streckungsfaktor \(k\) durch. Bestimme die Koordinaten aller Bildpunkte.
| a) \(\triangle ABC\) | b) Parallelogramm \(ABCD\) | |
| \(A\) | \((2\mid 3)\) | \((2\mid 2)\) |
| \(B\) | \((6\mid 3)\) | \((6\mid 2)\) |
| \(C\) | \((4\mid 7)\) | \((7\mid 5)\) |
| \(D\) | – | \((3\mid 5)\) |
| \(Z\) | \((4\mid 3)\) | \(B\) |
| \(k\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\frac{1}{3}\) |
Beschreibe die Lage der Bildpunkte im Vergleich zu den Originalpunkten.
Aufgabe 4: Dezimale Streckungsfaktoren
Zeichne die angegebenen Dreiecke in ein Koordinatensystem. Führe jeweils eine zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum \(Z\) und dem Streckungsfaktor \(k\) durch. Bestimme die Koordinaten aller Bildpunkte.
| a) \(\triangle ABC\) | b) \(\triangle ABC\) | |
| \(A\) | \((1\mid 1)\) | \((2\mid 2)\) |
| \(B\) | \((5\mid 1)\) | \((5\mid 2)\) |
| \(C\) | \((3\mid 4)\) | \((4\mid 6)\) |
| \(Z\) | \((0\mid 0)\) | Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) |
| \(k\) | \(1{,}5\) | \(0{,}5\) |
Vergleiche die entsprechenden Winkel der Original- und Bilddreiecke.
Aufgabe 5: Streckung mit einem Bruchfaktor
Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem. Führe eine zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum \(Z\) und dem Streckungsfaktor \(k\) durch. Bestimme die Koordinaten aller Bildpunkte.
| a) \(\triangle ABC\) | |
| \(A\) | \((-3\mid 2)\) |
| \(B\) | \((-1\mid 5)\) |
| \(C\) | \((2\mid 1)\) |
| \(Z\) | \((0\mid 0)\) |
| \(k\) | \(\frac{2}{3}\) |
Definition: Kongruenzsatz
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in folgenden entsprechenden Größen übereinstimmen:
- SSS: alle drei Seiten
- SWS: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
- WSW: eine Seite und die beiden anliegenden Winkel
- SsW: zwei Seiten und der Winkel gegenüber der größeren Seite
Definition: Ähnlichkeitssatz
Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn sie in allein drei Innenwinkeln übereinstimmen.
Aufgabe 6: Kongruent oder ähnlich?
Untersuche, ob die Dreieckspaare kongruent, ähnlich oder weder kongruent noch ähnlich sind. Begründe deine Entscheidung mithilfe der Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze. Alle Seitenlängen sind in Zentimetern angegeben.
| a) | b) | c) | |
| Dreieck 1 | \(\triangle ABC\) | \(\triangle ABC\) | \(\triangle ABC\) |
| \(AB\) | – | \(4\) | \(5\) |
| \(BC\) | – | \(6\) | \(7\) |
| \(CA\) | – | \(8\) | \(10\) |
| \(\alpha\) | \(30^\circ\) | – | – |
| \(\beta\) | \(60^\circ\) | – | – |
| \(\gamma\) | \(90^\circ\) | – | – |
| Dreieck 2 | \(\triangle A'B'C'\) | \(\triangle A'B'C'\) | \(\triangle A'B'C'\) |
| \(A'B'\) | – | \(6\) | \(10\) |
| \(B'C'\) | – | \(9\) | \(5\) |
| \(C'A'\) | – | \(12\) | \(7\) |
| \(\alpha'\) | \(30^\circ\) | – | – |
| \(\beta'\) | \(60^\circ\) | – | – |
| \(\gamma'\) | \(90^\circ\) | – | – |
Aufgabe 7: Weitere Dreieckspaare
Entscheide, ob die Dreieckspaare kongruent, ähnlich oder weder kongruent noch ähnlich sind. Begründe deine Entscheidung. Alle Seitenlängen sind in Zentimetern angegeben.
| a) | b) | c) | |
| Dreieck 1 | \(\triangle ABC\) | \(\triangle ABC\) | \(\triangle ABC\) |
| \(AB\) | \(6\) | \(5\) | \(6\) |
| \(BC\) | \(8\) | – | \(8\) |
| \(CA\) | \(10\) | \(6\) | \(10\) |
| \(\alpha\) | – | \(50^\circ\) | – |
| Dreieck 2 | \(\triangle A'B'C'\) | \(\triangle A'B'C'\) | \(\triangle A'B'C'\) |
| \(A'B'\) | \(9\) | \(7{,}5\) | \(9\) |
| \(B'C'\) | \(12\) | – | \(12\) |
| \(C'A'\) | \(15\) | \(6\) | \(15\) |
| \(\alpha'\) | – | \(50^\circ\) | – |
Aufgaben / Übung [TIMER:2400]
Flächeninhalt und Umfang ähnlicher Figuren
Zwei ähnliche Figuren \(F\) und \(F'\) besitzen einen gemeinsamen Streckungsfaktor \(k>0\), der das Verhältnis entsprechender Seitenlängen beschreibt.
Für den Umfang \(u\) und den Flächeninhalt \(A\) gilt:
| Umfang | Flächeninhalt |
| \[u'=k\cdot u\] | \[A'=k^2\cdot A\] |
[TASK{Mathematik 9}{Stundenaufgabe}:Merkkasten in das Heft übertragen;;;Lb;72;2-4]
LE = Längeneinheiten · FE = Flächeneinheiten. Eine Rasterstrecke von 25 SVG-Einheiten entspricht 1 LE; ein Rasterquadrat entspricht 1 FE. Werte werden für die Anzeige gerundet.
Aufgabe 8: Umfang und Flächeninhalt ähnlicher Dreiecke
Das Dreieck \(PQR\) wird jeweils mit dem Streckungsfaktor \(k\) auf das Dreieck \(P'Q'R'\) abgebildet. Berechne alle fehlenden Werte. Gib den vollständigen Rechenweg an. Alle Umfänge sind in cm und alle Flächeninhalte in cm² angegeben.
| a) | b) | c) | d) | e) | f) | g) | h) | |
| \(k\) | \(\frac{1}{2}\) | \(2\) | \(\frac{3}{2}\) | \(\square\) | \(\square\) | \(\square\) | \(0{,}75\) | \(\frac{5}{4}\) |
| \(\triangle PQR\) | ||||||||
| \(u\) | \(30\) | \(\square\) | \(28\) | \(32\) | \(42\) | \(\square\) | \(36\) | \(\square\) |
| \(A\) | \(32\) | \(\square\) | \(24\) | \(36\) | \(54\) | \(14\) | \(40\) | \(\square\) |
| \(\triangle P'Q'R'\) | ||||||||
| \(u'\) | \(\square\) | \(42\) | \(\square\) | \(\square\) | \(28\) | \(30\) | \(\square\) | \(37{,}5\) |
| \(A'\) | \(\square\) | \(36\) | \(\square\) | \(81\) | \(\square\) | \(31{,}5\) | \(\square\) | \(46{,}875\) |