Potenzgesetze
Definition: Potenzen
Das Produkt aus gleichen Faktoren kann als Potenz geschrieben werden.
Das Produkt \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \) kann kürzer als \(2^5\) geschrieben werden. Man spricht "2 hoch 5".
\[\underbrace{4^6}_\textrm{Potenz} = \underbrace{4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4}_\textrm{Produkt} = \underbrace{4096}_\textrm{Potenzwert}\]
Beispiele:
\[2^7 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 128\]
\[11^2 = 11 · 11 = 121\]
\[3^4 = 3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\]
\[2^{42} = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{42\times }= 4.398.046.511.104\]
Aufgabe 2: Schreibe als Potenz.
a) \(1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1=\square\)
b) \(2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 =\square\)
c) \(5 \cdot5 \cdot5 \cdot5 \cdot 5= \square\)
d) \(10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot 10=\square\)
e) \(4 \cdot4 \cdot4 \cdot4 \cdot4 \cdot4\cdot4\cdot4=\square\)
f) \(x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=\square\)
Aufgabe 3: Schreibe als Produkt.
a) \(2^5=\square\)
b) \(6^7 =\square\)
c) \(5^3= \square\)
d) \(y^6=\square\)
e) \(z^{10}=\square\)
Definition: Quadratzahlen
Quadratzahlen sind Ergebnisse der Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst. Wenn eine Zahl \(n\) mit sich selbst multipliziert wird (also \(n \cdot n\)), nennt man das Ergebnis \(n^2\), was als "n Quadrat" gelesen wird. Quadratzahlen sind also die Quadrate der ganzen Zahlen.
Einige Beispiele für Quadratzahlen sind:
- \(1^2=1 \cdot 1=1\)
- \(2^2=2 \cdot 2=4\)
- \(3^2=3 \cdot 3=9\)
- \(4^2=4 \cdot 4=16\)
- \(5^2=5 \cdot 5=25\)
Quadratzahlen haben viele interessante Eigenschaften und Anwendungen, zum Beispiel in der Geometrie, wo sie bei der Berechnung von Flächen quadratischer Formen eine Rolle spielen. Sie bilden auch eine wichtige Grundlage in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.
Aufgabe 4:
Berechne die Quadratzahlen von \(0^2\) bis \(20^2\) sowie \(25^2\). Nachdem du die Quadratzahlen berechnet hast, versuche, sie auswendig zu lernen. Dies wird dir helfen, dein mathematisches Verständnis zu verbessern und schneller auf diese Werte zugreifen zu können, was in vielen Bereichen der Mathematik nützlich ist.
Anleitung:
- Beginne mit \(0^2\) und steigere dich schrittweise bis \(20^2\).
- Berechne zusätzlich \(25^2\).
- Schreibe alle Ergebnisse auf.
- Überprüfe deine Berechnungen mit einem Taschenrechner oder einer vertrauenswürdigen Quelle.
- Teste dein Gedächtnis regelmäßig, um sicherzustellen, dass du die Quadratzahlen behalten hast.
Ergebnissicherung
\(0^2 = 0 \)
\(1^2 = 1 \)
\(2^2 = 4 \)
\(3^2 = 9 \)
\(4^2 = 16 \)
\(5^2 = 25 \)
\(6^2 = 36 \)
\(7^2 = 49 \)
\(8^2 = 64 \)
\(9^2 = 81 \)
\(10^2 = 100 \)
\(11^2 = 121 \)
\(12^2 = 144 \)
\(13^2 = 169 \)
\(14^2 = 196 \)
\(15^2 = 225 \)
\(16^2 = 256 \)
\(17^2 = 289 \)
\(18^2 = 324 \)
\(19^2 = 361 \)
\(20^2 = 400 \)
\(25^2 = 625 \)
Quadratzahlengenerator
Hausaufgabe
Lerne diese Liste der häufigen Quadratzahlen auswendig!
Lifehack: Quadratzahlen im Kopf berechnen
Die Berechnung beliebiger Quadratzahlen mithilfe der ersten/zweiten binomischen Formel ist eine nützliche Methode, insbesondere wenn man die häufigen Quadratzahlen auswendig kennt. Die erste binomische Formel lautet:
\[(a+b)^2=a^2+2\cdot a \cdot b+b^2\]
\[(a-b)^2=a^2+2\cdot a \cdot b+b^2\]
Diese Formeln können verwendet werden, um das Quadrat einer beliebigen Zahl zu berechnen, indem man sie in eine Summe zweier Zahlen zerlegt, deren Quadrate man kennt oder leicht berechnen kann.
Beispiel:
Nehmen wir an, wir wollen \(27^2\) berechnen und wissen bereits, dass \(20^2=400\) und \(7^2 = 49\).
-
Zerlege die Zahl 27 in den Zehner und den Einer (\(20 + 7\)) oder (\(30 - 3\)).
-
Wende die erste oder zweite binomische Formel an: \[\begin{align*}(20+7)^2&=20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 7 +7^2\\ &= 400 + 280 + 49\\ &= 729\end{align*}\]\[\begin{align*}(30-3)^2&=30^2 - 2 \cdot 30 \cdot 3 +3^2\\ &= 900 - 180 + 9\\ &= 729\end{align*}\]
-
Also ist \(27^2 = 729\)
Wichtig:
- Die Kenntnis häufiger Quadratzahlen (wie die von 1 bis 10 oder 12, 15, 20) erleichtert diesen Prozess, da man sie direkt in die Formel einsetzen kann.
- Diese Methode ist besonders nützlich für Zahlen nahe bei runden Zahlen wie 10, 20, 30 usw., da man diese leicht in eine Summe zweier Zahlen zerlegen kann, deren Quadrate bekannt sind.
Durch die Anwendung der ersten oder zweiten binomischen Formel kann man also das Quadrat einer Zahl berechnen, ohne direkt multiplizieren zu müssen. Es wird empfohlen für die Zahlen von 1 bis 5 die erste binomische Formel zu verwenden und von 6 bis 9 die zweite binomische Formel.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 5: Berechne die Quadratzahlen geschickt.
a) \( (88)^2 = (90 - 2)^2 = \square \)
b) \( (66)^2 = \square \)
c) \( (78)^2 = \square \)
d) \( (35)^2 = \square \)
e) \( (48)^2 = \square \)
f) \( (87)^2 = \square \)
g) \( (36)^2 = \square \)
h) \( (63)^2 = \square \)
i) \( (81)^2 = \square \)
j) \( (67)^2 = \square \)
k) \( (85)^2 = \square \)
l) \( (99)^2 = \square \)
m) \( (64)^2 = \square \)
n) \( (28)^2 = \square \)
o) \( (51)^2 = (50+1)^2 = \square \)
p) \( (33)^2 = \square \)
q) \( (70)^2 = \square \)
r) \( (72)^2 = \square \)
s) \( (62)^2 = \square \)
t) \( (83)^2 = \square \)
Lösung:
| 784 | 1089 | 1225 | 1296 |
| 2304 | 2601 | 3844 | 3969 |
| 4096 | 4356 | 4489 | 4900 |
| 5184 | 6084 | 6561 | 6889 |
| 7225 | 7569 | 7744 | 9801 |
Aufgabe 6: Berechne vorteilhaft.
a) \( (101)^2 = (100 + 1)^2 = \square \)
b) \( (110)^2 = \square \)
c) \( (204)^2 = \square \)
d) \( (302)^2 = \square \)
e) \( (430)^2 = (400 + 30)^2 = \square \)
f) \( (460)^2 = \square \)
g) \( (503)^2 = \square \)
h) \( (508)^2 = \square \)
i) \( (520)^2 = \square \)
j) \( (590)^2 = \square \)
k) \( (600)^2 = \square \)
l) \( (620)^2 = \square \)
m) \( (670)^2 = \square \)
n) \( (709)^2 = \square \)
o) \( (807)^2 = \square \)
p) \( (809)^2 = \square \)
q) \( (840)^2 = \square \)
r) \( (860)^2 = \square \)
s) \( (906)^2 = \square \)
t) \( (950)^2 = \square \)
Lösung:
| 10201 | 12100 | 41616 | 91204 |
| 184900 | 211600 | 253009 | 258064 |
| 270400 | 348100 | 360000 | 384400 |
| 448900 | 502681 | 651249 | 654481 |
| 705600 | 739600 | 820836 | 902500 |
Aufgabe 7: Berechne die Quadratzahlen. Verwende \[(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\] zur Berechnung.
Beispiel: \[\begin{align*}(216)^2 &= (200 + 10 + 6)^2\\ &= \overset{200^2}{40000} + \overset{10^2}{100} + \overset{6^2}{36} + \overset{2 \cdot 200 \cdot 10}{4000} + \overset{2 \cdot 200 \cdot 6}{2400} + \overset{2 \cdot 10 \cdot 6}{120}\\ &= 46656\end{align*}\]
a) \( (316)^2 = (300 + 10 + 6)^2 = \square \)
b) \( (321)^2 = \square \)
c) \( (433)^2 = \square \)
d) \( (461)^2 = \square \)
e) \( (516)^2 = \square \)
f) \( (543)^2 = \square \)
g) \( (589)^2 = \square \)
h) \( (617)^2 = \square \)
i) \( (619)^2 = \square \)
j) \( (633)^2 = \square \)
k) \( (644)^2 = \square \)
l) \( (662)^2 = \square \)
m) \( (692)^2 = \square \)
n) \( (813)^2 = \square \)
o) \( (818)^2 = \square \)
p) \( (837)^2 = \square \)
q) \( (857)^2 = \square \)
r) \( (863)^2 = \square \)
s) \( (913)^2 = \square \)
t) \( (919)^2 = \square \)
Lösung:
| 99856 | 103041 | 187489 | 212521 |
| 266256 | 294849 | 346921 | 380689 |
| 383161 | 400689 | 414736 | 438244 |
| 478864 | 660969 | 669124 | 700569 |
| 734449 | 744769 | 833569 | 844561 |
Potenzgesetze
1. Potenzgesetz: Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis
Regel: \[a^m \cdot a^n=a^{m + n}\]
Erklärung: Multipliziert man zwei Potenzen mit der gleichen Basis, addiert man ihre Exponenten. Dies bedeutet, dass man die Basis so oft multipliziert, wie die Summe der Exponenten angibt.
Beispiel: \[3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5\]. Hier wird die Basis 3 insgesamt 5-mal als Faktor genommen.
Aufgabe 8: Wende die Regel zur Multiplikation mit gleichen Basen an, um den Ausdruck zu vereinfachen.
a) \( 5^4 \cdot 5^5 = \square \)
b) \( 4^5 \cdot 4^2 = \square \)
c) \( 7^3 \cdot 7^5 = \square \)
d) \( 4^4 \cdot 4^2 = \square \)
e) \( 9^2 \cdot 9^5 = \square \)
f) \( 2^2 \cdot 2^3 = \square \)
g) \( 9^4 \cdot 9^5 = \square \)
h) \( 2^1 \cdot 2^3 = \square \)
i) \( 8^4 \cdot 8^3 = \square \)
j) \( 6^5 \cdot 6^1 = \square \)
k) \( 7^3 \cdot 7^3 = \square \)
l) \( 7^4 \cdot 7^5 = \square \)
m) \( 9^3 \cdot 9^3 = \square \)
n) \( 4^4 \cdot 4^3 = \square \)
o) \( 2^4 \cdot 2^5 = \square \)
2. Potenzgesetz: Division von Potenzen mit gleicher Basis
Regel: \[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]
Erklärung: Dividiert man zwei Potenzen mit der gleichen Basis, subtrahiert man den Exponenten des Nenners vom Exponenten des Zählers. Die Basis wird so oft als Faktor genommen, wie der Differenzwert der Exponenten angibt.
Beispiel: \[\frac{4^5}{4^2} = 4^{5-2} = 4^3\] Hier bleibt die Basis 4 insgesamt 3-mal als Faktor übrig.
Aufgabe 9: Fasse mithilfe der Regel zur Division zusammen.
a) \( \frac{4^2}{4^1} = \square \)
b) \( \frac{8^5}{8^4} = \square \)
c) \( \frac{4^4}{4^1} = \square \)
d) \( \frac{7^6}{7^2} = \square \)
e) \( \frac{2^2}{2^1} = \square \)
f) \( \frac{9^6}{9^3} = \square \)
g) \( \frac{3^3}{3^2} = \square \)
h) \( \frac{4^5}{4^3} = \square \)
i) \( \frac{4^3}{4^1} = \square \)
j) \( \frac{9^6}{9^1} = \square \)
k) \( \frac{2^3}{2^2} = \square \)
l) \( \frac{4^4}{4^1} = \square \)
m) \( \frac{9^6}{9^3} = \square \)
n) \( \frac{8^6}{8^3} = \square \)
o) \( \frac{8^6}{8^2} = \square \)
Aufgabe 10: Vereinfache so weit wie möglich. Berechne den Termwert, falls der Exponent nicht höher als 4 ist.
a) \( \frac{5^3 \cdot 5^4}{5^2} = \square \)
b) \( \frac{8^5 \cdot 8^3}{8^4} = \square \)
c) \( \frac{6^4 \cdot 6^3}{6^2} = \square \)
d) \( \frac{3^3 \cdot 3^1}{3^3} = \square \)
e) \( \frac{5^1 \cdot 5^5}{5^5} = \square \)
f) \( \frac{6^5 \cdot 6^1}{6^2} = \square \)
g) \( \frac{3^3 \cdot 3^4}{3^1} = \square \)
h) \( \frac{7^3 \cdot 7^5}{7^3} = \square \)
i) \( \frac{7^1 \cdot 7^1}{7^2} = \square \)
j) \( \frac{8^5 \cdot 8^5}{8^{10}} = \square \)
k) \( \frac{4^4 \cdot 4^4}{4^6} = \square \)
l) \( \frac{5^2 \cdot 5^2}{5^1} = \square \)
m) \( \frac{7^3 \cdot 7^3}{7^1} = \square \)
n) \( \frac{6^3 \cdot 6^1}{6^2} = \square \)
o) \( \frac{4^3 \cdot 4^4}{4^1} = \square \)
Aufgabe 11: Fasse möglichst weit zusammen.
a) \( \frac{2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^1}{2^5} = \square \)
b) \( \frac{9^2 \cdot 9^2 \cdot 9^3}{9^3} = \square \)
c) \( \frac{8^3 \cdot 8^1 \cdot 8^2}{8^5} = \square \)
d) \( \frac{3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4}{3^6} = \square \)
e) \( \frac{9^7 \cdot 9^1 \cdot 9^2}{9^5} = \square \)
f) \( \frac{3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^1}{3^3} = \square \)
g) \( \frac{3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^3}{3^5} = \square \)
h) \( \frac{4^1 \cdot 4^1 \cdot 4^1}{4^3} = \square \)
i) \( \frac{9^1 \cdot 9^2 \cdot 9^2}{9^3} = \square \)
j) \( \frac{7^3 \cdot 7^2 \cdot 7^2}{7^6} = \square \)
k) \( \frac{6^2 \cdot 6^1 \cdot 6^5}{6^6} = \square \)
l) \( \frac{9^4 \cdot 9^1 \cdot 9^3}{9^2} = \square \)
m) \( \frac{7^3 \cdot 7^1 \cdot 7^3}{7^3} = \square \)
n) \( \frac{3^3 \cdot 3^3 \cdot 3^2}{3^6} = \square \)
o) \( \frac{5^3 \cdot 5^1 \cdot 5^2}{5^2} = \square \)
3. Potenzgesetz: Potenzieren einer Potenz
Regel: \[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\]
Erklärung: Potenziert man eine Potenz, multipliziert man die Exponenten. Dies bedeutet, dass die Basis so oft als Faktor genommen wird, wie das Produkt der Exponenten angibt.
Beispiel: \[(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\]Die Basis 5 wird insgesamt 6-mal als Faktor genommen.
Aufgabe 12: Löse die Klammern auf und fasse möglichst weit zusammen.
a) \( (8^2)^2 = \square \)
b) \( (6^3)^4 = \square \)
c) \( (4^3)^3 = \square \)
d) \( (8^2)^4 = \square \)
e) \( (3^2)^3 = \square \)
f) \( (4^2)^2 = \square \)
g) \( (4^2)^3 = \square \)
h) \( (9^3)^4 = \square \)
i) \( (2^2)^2 = \square \)
j) \( (9^1)^2 = \square \)
k) \( (4^3)^4 = \square \)
l) \( (3^3)^3 = \square \)
m) \( (5^1)^2 = \square \)
n) \( (5^3)^4 = \square \)
o) \( (4^1)^3 = \square \)
Aufgabe 13: Fasse zusammen.
a) \( (9^2)^4 \cdot 9^3 = \square \)
b) \( \frac{5^2 \cdot 5^3}{5^4} = \square \)
c) \( \frac{6^7}{6^4} \cdot 6^2 = \square \)
d) \( (5^3)^3 \cdot 5^2 = \square \)
e) \( \frac{8^3 \cdot 8^2}{8^4} = \square \)
f) \( \frac{9^3 \cdot 9^4}{9^5} = \square \)
g) \( (7^3)^5 \cdot 7^8 = \square \)
h) \( \frac{4^2}{4^3} \cdot 4^3 = \square \)
i) \( \frac{7^5}{7^3} \cdot 7^2 = \square \)
j) \( (7^5)^2 \cdot 7^2 = \square \)
k) \( \frac{8^3 \cdot 8^4}{8^2} = \square \)
l) \( \frac{7^2 \cdot 7^3}{7^4} = \square \)
m) \( \frac{2^5}{2^3} \cdot 2^2 = \square \)
n) \( \frac{5^3}{5^2} \cdot 5^2 = \square \)
o) \( (4^3)^2 \cdot 4^4 = \square \)
Aufgabe 14: Vereichfache so weit, dass das Produkt zweier Potenzen mit unterschiedlichen Basen bleibt.
a) \(\frac{2^5}{9^2} \cdot \frac{9^4}{2^2}= \square \)
b) \(\frac{3^2}{9^1} \cdot \frac{9^2}{3^1}= \square \)
c) \(\frac{2^4}{6^2} \cdot \frac{6^3}{2^1}= \square \)
d) \(\frac{4^4}{7^2} \cdot \frac{7^4}{4^1}= \square \)
e) \(\frac{4^3}{7^2} \cdot \frac{7^2}{4^1}= \square \)
f) \(\frac{4^3}{8^2} \cdot \frac{8^5}{4^1}= \square \)
g) \(\frac{4^5}{7^1} \cdot \frac{7^3}{4^2}= \square \)
h) \(\frac{2^3}{6^1} \cdot \frac{6^5}{2^1}= \square \)
i) \(\frac{2^2}{6^1} \cdot \frac{6^3}{2^2}= \square \)
j) \(\frac{5^5}{7^1} \cdot \frac{7^4}{5^3}= \square \)
k) \(\frac{4^5}{8^1} \cdot \frac{8^3}{4^1}= \square \)
l) \(\frac{4^5}{8^2} \cdot \frac{8^4}{4^1}= \square \)
m) \(\frac{2^5}{7^4} \cdot \frac{7^4}{2^3}= \square \)
n) \(\frac{2^5}{6^4} \cdot \frac{6^4}{2^3}= \square \)
o) \(\frac{4^5}{8^1} \cdot \frac{8^4}{4^2}= \square \)
p) \(\frac{5^5}{7^2} \cdot \frac{7^4}{5^2}= \square \)
4. Potenzgesetz: Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten
Regel: \[a^m \cdot b^m = (a\cdot b)^m\]
Erklärung: Multipliziert man zwei Potenzen mit dem gleichen Exponenten, multipliziert man ihre Basen und behält den gemeinsamen Exponenten. Dies entspricht dem Potenzieren des Produkts der Basen.
Beispiel: \[2^3 \cdot 3^3 = (2\cdot 3)^3 = 6^3\] Das Produkt der Basen (2 und 3) wird dreimal als Faktor genommen.
Aufgabe 15: Wende die 4. Potenzregel an, um aus dem Produkt eine einzelne Potenz zu bilden.
a) \( 4^2 \cdot 7^2 = \square \)
b) \( 5^3 \cdot 9^3 = \square \)
c) \( 4^3 \cdot 9^3 = \square \)
d) \( 2^2 \cdot 6^2 = \square \)
e) \( 5^4 \cdot 7^4 = \square \)
f) \( 4^2 \cdot 6^2 = \square \)
g) \( 3^2 \cdot 9^2 = \square \)
h) \( 2^2 \cdot 9^2 = \square \)
i) \( 3^3 \cdot 8^3 = \square \)
j) \( 5^2 \cdot 6^2 = \square \)
k) \( 2^4 \cdot 9^4 = \square \)
l) \( 3^4 \cdot 8^4 = \square \)
m) \( 4^2 \cdot 8^2 = \square \)
n) \( 2^4 \cdot 9^4 = \square \)
o) \( 3^3 \cdot 8^3= \square \)
5. Potenzgesetz: Division von Potenzen mit gleichem Exponenten
Regel: \[\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m\]
Erklärung: Dividiert man zwei Potenzen mit dem gleichen Exponenten, dividiert man ihre Basen und behält den gemeinsamen Exponenten. Dies entspricht dem Potenzieren des Quotienten der Basen.
Beispiel: \[\frac{6^2}{3^2} = \left(\frac{6}{3}\right)^2 = 2^2\] Der Quotient der Basen (6 und 3) wird quadriert.
Aufgabe 16: Vereinfache zu einer einzigen Potenz. Vereinfache den Bruch nur, wenn dieser mit höchstens zwei Nachkommastellen darstellbar ist.
a) \( \frac{4^4}{6^4} = \square \)
b) \( \frac{2^4}{6^4} = \square \)
c) \( \frac{3^3}{7^3} = \square \)
d) \( \frac{4^3}{6^3} = \square \)
e) \( \frac{3^4}{8^4} = \square \)
f) \( \frac{3^2}{9^2} = \square \)
g) \( \frac{4^4}{7^4} = \square \)
h) \( \frac{4^3}{9^3} = \square \)
i) \( \frac{3^2}{7^2} = \square \)
j) \( \frac{8^2}{2^2} = \square \)
k) \( \frac{5^3}{8^3} = \square \)
l) \( \frac{6^3}{2^3} = \square \)
m) \( \frac{4^4}{8^4} = \square \)
n) \( \frac{15^2}{25^2} = \square \)
o) \( \frac{4^2}{7^2} = \square \)
6. Potenzgesetz: Potenz einer negativen Basis
Regel: \[(-a)^m = a^m\], wenn \(m\) gerade ist, und \[(-a)^m = -a^m\], wenn \(m\) ungerade ist
Erklärung: Eine negative Basis bleibt negativ, wenn sie zu einer ungeraden Potenz erhoben wird, und wird positiv bei einer geraden Potenz.
Beispiel: \[(−2)^3=−8\]\[(−2)^2=4\]
Aufgabe 17: Vereinfache so, dass das negative Vorzeichen aus der Potenz herausgelöst wird.
a) \( (-5)^5 = \square \)
b) \( (-7)^3 = \square \)
c) \( (-2)^5 = \square \)
d) \( (-6)^4 = \square \)
e) \( (-8)^4 = \square \)
f) \( (-5)^3 = \square \)
g) \( (-1)^1 = \square \)
h) \( (-8)^4 = \square \)
i) \( (-9)^3 = \square \)
j) \( (-5)^1 = \square \)
k) \( (-6)^3 = \square \)
l) \( (-2)^1 = \square \)
m) \( (-2)^4 = \square \)
n) \( (-8)^1 = \square \)
o) \( (-2)^4 = \square \)
Aufgabe 18: Berechne jeweils das Ergebnis. Begründe mündlich.
a) \( (1)^{3606}= \square \)
b) \( (-1)^{8642}= \square \)
c) \( (1)^{3245}= \square \)
d) \( (-1)^{8551}= \square \)
e) \( (1)^{-2616}= \square \)
f) \( (-1)^{-9018}= \square \)
g) \( (1)^{-7615}= \square \)
h) \( (-1)^{-3075}= \square \)
i) \( (1)^{99} \cdot (-1)^{75}= \square \)
j) \( (-1)^{802} \cdot (-1)^{703} = \square \)
k) \( (1)^{634} \cdot (-1)^{194} = \square \)
l) \( (-1)^{281} \cdot (1)^{285} = \square \)
m) \( (1)^{490} \cdot (-1)^{405} = \square \)
n) \( (-1)^{8164} \cdot (1)^{8185} = \square \)
a) \( (1)^{3606}= 1 \)
b) \( (-1)^{8642}= 1 \)
c) \( (1)^{3245}= 1 \)
d) \( (-1)^{8551}=-1 \)
e) \( (1)^{-2616}=1 \)
f) \( (-1)^{-9018}= 1 \)
g) \( (1)^{-7615}= 1 \)
h) \( (-1)^{-3075}= -1 \)
i) \( (1)^{99} \cdot (-1)^{75}= -1 \)
j) \( (-1)^{802} \cdot (-1)^{703} = -1 \)
k) \( (1)^{634} \cdot (-1)^{194} = 1 \)
l) \( (-1)^{281} \cdot (1)^{285} = -1 \)
m) \( (1)^{490} \cdot (-1)^{405} = -1\)
n) \( (-1)^{8164} \cdot (1)^{8185} = 1 \)
7. Potenzgesetz: Potenz mit Exponenten 0
Regel: \[a^0=1\] für alle \(a \neq 0\)
Erklärung: Jede von Null verschiedene Zahl, die zu der Potenz 0 erhoben wird, ergibt 1. Dies entspricht dem leeren Produkt.
Beispiel: \[7^0 = 1\]\[\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1\]\[(-5)^0 = 1\]
Wie gehen wir mit \(0^0\) um
Die Potenz \(0^0\) ist in der Mathematik ein diskutierter Ausdruck, für den es keine allgemein anerkannte Definition gibt.
Während einige mathematische Disziplinen und Kontexte ihm einen spezifischen Wert zuweisen können, wird er in anderen Bereichen als undefiniert betrachtet.
Die Behandlung von \(0^0\) hängt somit vom jeweiligen mathematischen Kontext und den zugrunde liegenden Annahmen ab.
Die Potenz \(0^n\) bedeutet, dass die Zahl 0 \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert wird. Da jede Multiplikation mit Null wieder Null ergibt, ist das Ergebnis von \(0^n\) immer Null, solange \(n\) positiv ist.
Beispiel:
\(0^1=0\)
\(0^2=0 \cdot 0=0\)
\(0^3=0 \cdot 0 \cdot 0=0\)
\(0^4=0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0=0\)
Die Potenz \(n^0\) bedeutet, dass die Zahl \(n\) nullmal mit sich selbst multipliziert wird. In der Mathematik wird eine solche Situation, bekannt als leeres Produkt, als 1 definiert. Das bedeutet, dass das Ergebnis jeder Potenz mit dem Exponenten 0 und einer Basis ungleich Null immer 1 ist.
Beispiel:
\(1^0=1\)
\(2^0=1\)
\(3^0=1\)
\(4^0=1\)
Wir gehen von \(0^0\) aus und wenden das erste Potenzgesetz an.
\[0^0 = 0^{0+0} = 0^0 \cdot 0^0\]
Wir ersetzen \(0^0 = x\) in der Gleichung
\[x = x \cdot x\]
Wir formen die Gleichung um und lösen nach x auf.
\[\begin{align*}x &= x \cdot x &&| -x\\ 0 &= x \cdot x - x &&|\textrm{x ausklammern}\\ 0 &= x \cdot (x - 1)\end{align*}\]
Die Gleichung ist dann gelöst, wenn \(x = 0\) oder \((x-1) = 0\) gilt.
Auswertung für \(x = 0\):
\[\begin{align*}x &= 0 &&| x = 0^0\\ 0^0 &= 0\end{align*}\]
Auswertung für \(x-1 = 0\):
\[\begin{align*}x - 1 &= 0 &&|+1\\ x &= 1&&| x = 0^0 \\ 0^0 &= 1 \end{align*}\]
Es gibt algebraisch keine eindeutige Lösung des Problems.
WolframAlpha
Die semantische Suchmaschine WolframAlpha gibt hier das Ergebnis "undefined" (nicht definiert).
Photomath
Die App Photomath liefert ebenfalls "undefined" für das Problem.
8. Potenzgesetz: Potenz mit negativem Exponenten
Regel: \[a^{-m} = \frac{1}{a^m}\] für alle \(a \neq 0\)
Erklärung: Eine Potenz mit einem negativen Exponenten entspricht dem Kehrwert der Potenz mit dem positiven Exponenten. Es ist, als würde man die Basis umdrehen.
Beispiel: \[3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\]