Wurzelziehen im Kopf
Einstieg
Auf einem Bild seht ihr zwei Kisten: Eine oberhalb der Erde mit '$100' und eine unter der Erde mit '$10,000' beschriftet.
Welche mathematischen Überlegungen oder Konzepte fallen euch ein, wenn ihr diese zwei unterschiedlich beschrifteten Kisten betrachtet? Erkläre deine Überlegungen.
Erklärung: Wurzelziehen
Das Wurzelziehen ist das Gegenteil der Potenzierung. Es bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie eine bestimmte Anzahl von Malen mit sich selbst multipliziert wird, die gegebene Zahl ergibt. Der Wurzelgrad zeigt an, wie oft diese Multiplikation stattfindet. Zum Beispiel gibt die Quadratwurzel (2. Grad) die Zahl an, die zweimal mit sich selbst multipliziert die gegebene Zahl ergibt.
Beispiel: \[3^2=3 \cdot 3=9\]
\[\sqrt{9} = 3\]
Das Ergebnis einer Wurzel wird in der Regel als die positive Zahl interpretiert:
\(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\)
\((-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9\)
Aber: \(\sqrt{9} = 3\)
Nur positive Ergebnisse der Wurzel
Wir erhalten nur positive Ergebnisse der Wurzel, wenn
- die Wurzel der zentrale Gegenstand der Aufgabe ist.
- wir geometrische Probleme lösen.
Welchen Wert hat die Wurzel aus 9?
\[\begin{align*}\sqrt{9} = 3\end{align*}\]
Positive und negative Wurzelwerte
Wir erhalten positive und negative Ergebnisse der Wurzel, wenn
- die Wurzel als Umkehrung genutzt wird, um eine Potenz aufzulösen.
Welche Quadratzahl hat den Wert 9?
\[\begin{align*}x^2 &= 9 &&|\sqrt{}\\ \sqrt{x^2} &= \sqrt{9}\\ x &= \pm 3\end{align*}\]
Wurzelziehen im Kopf
Um die Wurzel einer Zahl mittels Primfaktorzerlegung zu berechnen, zerlegt man die gegebene Zahl zuerst in ihre Primfaktoren. Dann gruppiert man diese Faktoren in Paare (für Quadratwurzeln) oder in entsprechende Gruppen, die dem Wurzelgrad entsprechen (z.B. Dreiergruppen für Kubikwurzeln). Die Wurzel der Zahl ist das Produkt eines Faktors aus jeder Gruppe.
Zum Beispiel, um \(\sqrt{36}\) zu berechnen:
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Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Berechne im Kopf.
a) \(\sqrt{121}= \square\)
b) \(\sqrt{64}= \square\)
c) \(\sqrt{225}= \square\)
d) \(\sqrt{16}= \square\)
e) \(\sqrt{81}= \square\)
f) \(\sqrt{36}= \square\)
g) \(\sqrt{256}= \square\)
h) \(\sqrt{9}= \square\)
i) \(\sqrt{196}= \square\)
j) \(\sqrt{144}= \square\)
k) \(\sqrt{49}= \square\)
l) \(\sqrt{100}= \square\)
m) \(\sqrt{4}= \square\)
n) \(\sqrt{169}= \square\)
o) \(\sqrt{289}= \square\)
p) \(\sqrt{25}= \square\)
Lösung:
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 |
| 14 | 15 | 16 | 17 |
Aufgabe 2: Berechne, indem du die Zahl unter der Wurzel in Primfaktoren zerlegst.
a) \(\sqrt{1764}= \square\)
b) \(\sqrt{1156}= \square\)
c) \(\sqrt{484}= \square\)
d) \(\sqrt{576}= \square\)
e) \(\sqrt{400}= \square\)
f) \(\sqrt{784}= \square\)
g) \(\sqrt{900}= \square\)
h) \(\sqrt{676}= \square\)
i) \(\sqrt{324}= \square\)
j) \(\sqrt{1024}= \square\)
k) \(\sqrt{1296}= \square\)
l) \(\sqrt{2304}= \square\)
m) \(\sqrt{1936}= \square\)
n) \(\sqrt{1600}= \square\)
o) \(\sqrt{1444}= \square\)
p) \(\sqrt{2116}= \square\)
Lösung:
| 18 | 20 | 22 | 24 |
| 26 | 28 | 30 | 32 |
| 34 | 36 | 38 | 40 |
| 42 | 44 | 46 | 48 |
Aufgabe 3: Ziehe die Wurzel, indem du je drei Primfaktoren gruppierst.
a) \(\sqrt[3]{8}= \square\)
b) \(\sqrt[3]{1331}= \square\)
c) \(\sqrt[3]{1728}= \square\)
d) \(\sqrt[3]{27}= \square\)
e) \(\sqrt[3]{3375}= \square\)
f) \(\sqrt[3]{1000}= \square\)
g) \(\sqrt[3]{4096}= \square\)
h) \(\sqrt[3]{2744}= \square\)
i) \(\sqrt[3]{125}= \square\)
j) \(\sqrt[3]{4913}= \square\)
k) \(\sqrt[3]{512}= \square\)
l) \(\sqrt[3]{343}= \square\)
m) \(\sqrt[3]{729}= \square\)
n) \(\sqrt[3]{2197}= \square\)
o) \(\sqrt[3]{216}= \square\)
p) \(\sqrt[3]{64}= \square\)
Lösung:
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 |
| 14 | 15 | 16 | 17 |
Aufgabe 4: Berechne durch geschicktes Gruppieren der Primfaktoren.
a) \(\sqrt[5]{32}= \square\)
b) \(\sqrt[4]{1296}= \square\)
c) \(\sqrt[5]{7776}= \square\)
d) \(\sqrt[6]{4096}= \square\)
e) \(\sqrt[4]{2401}= \square\)
f) \(\sqrt[4]{256}= \square\)
g) \(\sqrt[5]{243}= \square\)
h) \(\sqrt[4]{16}= \square\)
i) \(\sqrt[6]{15.625}= \square\)
j) \(\sqrt[5]{3125}= \square\)
k) \(\sqrt[6]{46.656}= \square\)
l) \(\sqrt[6]{64}= \square\)
m) \(\sqrt[6]{531.441}= \square\)
n) \(\sqrt[5]{1024}= \square\)
o) \(\sqrt[6]{729}= \square\)
p) \(\sqrt[6]{262.144}= \square\)
Lösung:
| 2 | 2 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 6 | 6 |
| 6 | 7 | 8 | 9 |
Wurzelziehen aus Dezimalbrüchen
Um die n-te Wurzel eines Dezimalbruchs zu ziehen, betrachte die Anzahl der Nachkommastellen. Die Anzahl der Nachkommastellen muss vollständig durch den Wurzelexponenten teilbar sein.
Beispiel:
Berechne \(\sqrt{0,0009}\) im Kopf:
- Der Dezimalbruch hat vier Nachkommastellen.
- Halbiere die Anzahl der Nachkommastellen (2 Nachkommastellen).
- Entferne das Komma und alle führenden Nullen von \(0,0009\). Dies entspricht der Zahl \(9\).
- Berechne \(\sqrt{9} = 3\).
- Verschiebe die Dezimalstelle zwei Stellen nach links, so dass \(\sqrt{0,0009} = 0,03\) entsteht.
Aufgabe 5: Ziehe die Wurzel aus den angegebenen Dezimalbrüchen.
a) \(\sqrt{0,01}= \square\)
b) \(\sqrt{0,0004}= \square\)
c) \(\sqrt{0,09}= \square\)
d) \(\sqrt{0,0001}= \square\)
e) \(\sqrt{0,2025}= \square\)
f) \(\sqrt{0,00000625}= \square\)
g) \(\sqrt{0,16}= \square\)
h) \(\sqrt{0,00000001}= \square\)
i) \(\sqrt{0,0144}= \square\)
j) \(\sqrt{0,000064}= \square\)
k) \(\sqrt{0,49}= \square\)
l) \(\sqrt{0,000025}= \square\)
m) \(\sqrt{0,0625}= \square\)
n) \(\sqrt{0,0000000001}= \square\)
o) \(\sqrt{0,0081}= \square\)
p) \(\sqrt{0,00000081}= \square\)
Lösung:
| 0,00001 | 0,0001 | 0,0009 | 0,002 |
| 0,0025 | 0,005 | 0,008 | 0,01 |
| 0,09 | 0,1 | 0,12 | 0,25 |
| 0,3 | 0,4 | 0,45 | 0,7 |
Aufgabe 6: Berechne im Kopf.
a) \(\sqrt[3]{0,125}= \square\)
b) \(\sqrt[3]{0,008}= \square\)
c) \(\sqrt[3]{0,512}= \square\)
d) \(\sqrt[3]{0,027}= \square\)
e) \(\sqrt[4]{0,0625}= \square\)
f) \(\sqrt[4]{0,0001}= \square\)
g) \(\sqrt[4]{0,2401}= \square\)
h) \(\sqrt[4]{0,00000625}= \square\)
i) \(\sqrt[5]{0,00032}= \square\)
j) \(\sqrt[3]{0,001}= \square\)
k) \(\sqrt[5]{0,07776}= \square\)
l) \(\sqrt[5]{0,0000001024}= \square\)
m) \(\sqrt[3]{0,001331}= \square\)
n) \(\sqrt[3]{0,000343}= \square\)
o) \(\sqrt[4]{0,00000256}= \square\)
p) \(\sqrt[4]{0,1296}= \square\)
Lösung:
| 0,04 | 0,04 | 0,05 | 0,07 |
| 0,1 | 0,1 | 0,11 | 0,2 |
| 0,2 | 0,3 | 0,5 | 0,5 |
| 0,6 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
Partielles Wurzelziehen
partielles Wurzelziehen
Das partielle Wurzelziehen ist eine Methode zum Vereinfachen von Wurzelausdrücken. Die Idee besteht darin, Faktoren unter der Wurzel abzuspalten, aus denen man bereits die Wurzel ziehen kann. Alle übrigen Faktoren verbleiben unter der Wurzel.
Beispiel:
\(\begin{align*}\sqrt{1800}&=\sqrt{900 \cdot 2}\\ &= \sqrt{900} \cdot \sqrt{2}\\ &= 30\cdot \sqrt{2}\\ &= 30 \sqrt{2}\end{align*}\)
\(\begin{align*}\sqrt{1800}&=2 \cdot 3 \cdot 5 \sqrt{2}\\ &= 30\sqrt{2}\end{align*}\)
| \(:\) | |
|---|---|
| 1800 | 2 |
| 900 | 2 |
| 450 | 2 |
| 225 | 3 |
| 75 | 3 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 | |