Bogenmaß
Einstieg
Aufgabe E1: Berechne den Umfang der angegebenen Kreise. Zeichne auch die Kreise bis a), b) und c).
| a) \(r = 3.5 \ cm\) | k) \(d = 12.4 \ cm\) |
| b) \(d = 7.2 \ cm\) | l) \(r = 6.3 \ cm\) |
| c) \(r = 4.8 \ cm\) | m) \(d = 13.8 \ cm\) |
| d) \(d = 9.5 \ cm\) | n) \(r = 7.4 \ cm\) |
| e) \(r = 5.1 \ cm\) | o) \(d = 15.0 \ cm\) |
| f) \(d = 10.6 \ cm\) | p) \(r = 8.1 \ cm\) |
| g) \(r = 4.3 \ cm\) | q) \(d = 14.2 \ cm\) |
| h) \(d = 11.8 \ cm\) | r) \(r = 7.7 \ cm\) |
| i) \(r = 5.6 \ cm\) | s) \(d = 16.3 \ cm\) |
| j) \(d = 8.9 \ cm\) | t) \(r = 6.8 \ cm\) |
Lösung:
| \(21.99 \ cm\) | \(22.62 \ cm\) | \(30.16 \ cm\) | \(29.85 \ cm\) | \(32.04 \ cm\) |
| \(33.30 \ cm\) | \(27.02 \ cm\) | \(37.07 \ cm\) | \(35.19 \ cm\) | \(27.96 \ cm\) |
| \(38.96 \ cm\) | \(39.58 \ cm\) | \( \ cm\) | \( \ cm\) | \( \ cm\) |
| \( \ cm\) | \( \ cm\) | \( \ cm\) | \( \ cm\) | \( \ cm\) |
Definition: Bogenmaß
Das Bogenmaß \(s\) eines Winkels \(\alpha\) kann als Teil des Kreisumfangs berechnet werden, indem man den Anteil \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) des vollen Kreises nimmt. Der Umfang eines Kreises ist \(u = 2 \cdot \pi \cdot r\), daher ergibt sich:
| \[\large s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r\] | \[\large s = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi \cdot r\] |
Beispiel
Berechne im Einheitskreis mit \(r = 1 \ cm\) und \(\alpha = 57,49^\circ\).
\[\large s = \frac{57,49^\circ}{180^\circ} \cdot \pi \cdot 1 \ cm \approx 1 \ cm\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1:
Berechne die Bogenlänge \(s\) am Einheitskreis. Zeichne für a) bis e) zusätzlich den Winkel \(\alpha\) und den passenden Kreisbogen in dein Heft. Am Einheitskreis ist der Radius immer \(r = 1 \ cm\).
Für die Bogenlänge gilt allgemein: \[ s=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \] Am Einheitskreis gilt \(r=1 \ cm\). Daher kannst du auch rechnen: \[ s=\frac{\alpha}{180^\circ}\cdot \pi \ cm \] |
| a) \(\alpha = 30^\circ\) | j) \(\alpha = 225^\circ\) |
| b) \(\alpha = 45^\circ\) | k) \(\alpha = 240^\circ\) |
| c) \(\alpha = 60^\circ\) | l) \(\alpha = 270^\circ\) |
| d) \(\alpha = 90^\circ\) | m) \(\alpha = 300^\circ\) |
| e) \(\alpha = 120^\circ\) | n) \(\alpha = 315^\circ\) |
| f) \(\alpha = 135^\circ\) | o) \(\alpha = 330^\circ\) |
| g) \(\alpha = 150^\circ\) | p) \(\alpha = 360^\circ\) |
| h) \(\alpha = 180^\circ\) | q) \(\alpha = 75^\circ\) |
| i) \(\alpha = 210^\circ\) | r) \(\alpha = 105^\circ\) |
Aufgabe 2:
Berechne die Bogenlänge \(s\). Der Radius \(r\) ist jeweils in Zentimetern angegeben. Zeichne für a) bis e) zusätzlich den Winkel \(\alpha\), den Radius \(r\) und den passenden Kreisbogen in dein Heft.
Für die Bogenlänge gilt: \[ s=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \] Dabei ist \(\alpha\) der Mittelpunktswinkel und \(r\) der Radius des Kreises. Runde dein Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. |
| a) \(\alpha = 30^\circ,\ r = 1{,}5 \ cm\) | j) \(\alpha = 225^\circ,\ r = 1{,}9 \ cm\) |
| b) \(\alpha = 45^\circ,\ r = 2{,}3 \ cm\) | k) \(\alpha = 240^\circ,\ r = 3{,}7 \ cm\) |
| c) \(\alpha = 60^\circ,\ r = 3{,}1 \ cm\) | l) \(\alpha = 270^\circ,\ r = 1{,}6 \ cm\) |
| d) \(\alpha = 90^\circ,\ r = 1{,}8 \ cm\) | m) \(\alpha = 300^\circ,\ r = 2{,}1 \ cm\) |
| e) \(\alpha = 120^\circ,\ r = 2{,}7 \ cm\) | n) \(\alpha = 315^\circ,\ r = 3{,}3 \ cm\) |
| f) \(\alpha = 135^\circ,\ r = 3{,}4 \ cm\) | o) \(\alpha = 330^\circ,\ r = 2{,}9 \ cm\) |
| g) \(\alpha = 150^\circ,\ r = 1{,}2 \ cm\) | p) \(\alpha = 360^\circ,\ r = 1{,}4 \ cm\) |
| h) \(\alpha = 180^\circ,\ r = 4{,}0 \ cm\) | q) \(\alpha = 75^\circ,\ r = 3{,}6 \ cm\) |
| i) \(\alpha = 210^\circ,\ r = 2{,}5 \ cm\) | r) \(\alpha = 105^\circ,\ r = 2{,}8 \ cm\) |
Aufgabe 3:
Stelle die Formel für die Bogenlänge nach \(\alpha\) um und berechne den Mittelpunktswinkel \(\alpha\). Der Winkel soll in Grad angegeben werden.
Für die Bogenlänge gilt: \[ s=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \] Nach \(\alpha\) umgestellt erhält man: \[ \alpha=\frac{s\cdot 360^\circ}{2\pi r} \] Runde den Winkel auf eine Nachkommastelle. |
| a) \(s = 3{,}5 \ cm\), \(r = 1{,}2 \ cm\) | j) \(s = 8{,}4 \ cm\), \(r = 2{,}9 \ cm\) |
| b) \(s = 5{,}1 \ cm\), \(r = 1{,}8 \ cm\) | k) \(s = 6{,}3 \ cm\), \(r = 2{,}1 \ cm\) |
| c) \(s = 4{,}8 \ cm\), \(r = 1{,}7 \ cm\) | l) \(s = 9{,}0 \ cm\), \(r = 3{,}2 \ cm\) |
| d) \(s = 6{,}7 \ cm\), \(r = 2{,}4 \ cm\) | m) \(s = 5{,}4 \ cm\), \(r = 1{,}9 \ cm\) |
| e) \(s = 7{,}2 \ cm\), \(r = 2{,}8 \ cm\) | n) \(s = 4{,}3 \ cm\), \(r = 1{,}3 \ cm\) |
| f) \(s = 3{,}9 \ cm\), \(r = 1{,}5 \ cm\) | o) \(s = 8{,}6 \ cm\), \(r = 3{,}0 \ cm\) |
| g) \(s = 6{,}1 \ cm\), \(r = 2{,}2 \ cm\) | p) \(s = 7{,}5 \ cm\), \(r = 2{,}7 \ cm\) |
| h) \(s = 5{,}8 \ cm\), \(r = 2{,}0 \ cm\) | q) \(s = 4{,}7 \ cm\), \(r = 1{,}6 \ cm\) |
| i) \(s = 9{,}3 \ cm\), \(r = 3{,}4 \ cm\) | r) \(s = 5{,}2 \ cm\), \(r = 1{,}9 \ cm\) |
Aufgabe 4:
Berechne die Länge des Radius \(r\). Die Bogenlänge \(s\) und der Winkel \(\alpha\) sind jeweils gegeben. Runde den Radius auf zwei Nachkommastellen.
Für die Bogenlänge gilt: \[ s=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \] Nach \(r\) umgestellt erhält man: \[ r=\frac{s\cdot 360^\circ}{\alpha\cdot 2\pi} \] Dabei ist \(\alpha\) der Mittelpunktswinkel und \(s\) die Bogenlänge. |
| a) \(s = 4{,}5 \ cm\), \(\alpha = 30^\circ\) | j) \(s = 7{,}2 \ cm\), \(\alpha = 225^\circ\) |
| b) \(s = 3{,}8 \ cm\), \(\alpha = 45^\circ\) | k) \(s = 6{,}0 \ cm\), \(\alpha = 240^\circ\) |
| c) \(s = 5{,}1 \ cm\), \(\alpha = 60^\circ\) | l) \(s = 8{,}1 \ cm\), \(\alpha = 270^\circ\) |
| d) \(s = 6{,}4 \ cm\), \(\alpha = 90^\circ\) | m) \(s = 7{,}5 \ cm\), \(\alpha = 300^\circ\) |
| e) \(s = 4{,}9 \ cm\), \(\alpha = 120^\circ\) | n) \(s = 3{,}6 \ cm\), \(\alpha = 315^\circ\) |
| f) \(s = 5{,}7 \ cm\), \(\alpha = 135^\circ\) | o) \(s = 6{,}9 \ cm\), \(\alpha = 330^\circ\) |
| g) \(s = 4{,}3 \ cm\), \(\alpha = 150^\circ\) | p) \(s = 7{,}8 \ cm\), \(\alpha = 360^\circ\) |
| h) \(s = 8{,}0 \ cm\), \(\alpha = 180^\circ\) | q) \(s = 3{,}4 \ cm\), \(\alpha = 75^\circ\) |
| i) \(s = 9{,}1 \ cm\), \(\alpha = 210^\circ\) | r) \(s = 5{,}5 \ cm\), \(\alpha = 105^\circ\) |
Erklärung: Winkel und Bogenmaß
Im Bogenmaß misst man Winkel als Verhältnis der Bogenlänge zum Radius des Einheitskreises (Radius \(r = 1 \ cm\)). Ein voller Kreis entspricht \(2\pi\) Radiant, daher gilt \(\alpha = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}\).
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