Kosinusfunktion
Einstieg
Aufgabe 1: Berechne die Funktionswerte mithilfe des Taschenrechners. Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die Werte.
| Funktion | \(x = 0\) | \(x = 1\) | \(x = 2\) | \(x = 5\) | \(x = -1\) | \(x = 0,5\) | \(x = 0,25\) | \(x = 1,5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | ||||||||
| \(g(x) = 2x + 1\) | ||||||||
| \(h(x) = \frac{1}{x}\) | ||||||||
| \(i(x) = \sqrt{x}\) |
| Funktion | \(x = 0\) | \(x = 1\) | \(x = 2\) | \(x = 5\) | \(x = -1\) | \(x = 0,5\) | \(x = 0,25\) | \(x = 1,5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(5\) | \(1\) | \(0,25\) | \(0,0625\) | \(2,25\) |
| \(g(x) = 2x + 1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(11\) | \(-1\) | \(2\) | \(1,5\) | \(4\) |
| \(h(x) = \frac{1}{x}\) | \(1\) | \(0,5\) | \(0,2\) | \(-1\) | \(2\) | \(4\) | \(\frac{2}{3}\) | |
| \(i(x) = \sqrt{x}\) | \(0\) | \(1\) | \(\sqrt{2}\) | \(\sqrt{5}\) | \(\sqrt{0,5}\) | \(0,5\) | \(\sqrt{1,5}\) |
Aufgabe 2: Stell dir einen Zeiger vor, der sich um einen festen Punkt dreht und anfangs nach rechts zeigt.
a) Überlege, um wie viele Grad man den Zeiger drehen kann, bis er wieder genau in die Ausgangsposition zurückkommt.
b) Was passiert, wenn man ihn weiter als einmal herumdreht? Gib Beispiele für solche Drehungen.
c) Überlege, was eine Drehung in die andere Richtung bedeuten könnte und notiere passende Winkel.
Aufgabe 3: Übertrage den Merkkasten und die Ergänzung in dein Heft.
Definition: Kosinusfunktion
Die Kosinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion (Winkelfunktion), die jedem Winkel \(x\) einen Wert zwischen \(-1\) und \(1\) zuordnet und das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt.
Sie ist periodisch mit der Periode \(2\pi\) und spielt eine zentrale Rolle in Mathematik, Physik und Technik, z. B. bei Wellen und Schwingungen.
\[\Large f(x) = \cos(x)\]
Wichtige Werte:
| Winkelmaß | Bogenmaß |
|---|---|
| \(\cos(0°) = 1\) | \(\cos(0) = 1\) |
| \( \cos(90°) = 0 \) | \(\cos(\frac{1}{2}\pi) = 0 \) |
| \(\cos(180°) = -1\) | \(\cos(\pi) = -1\) |
| \(\cos(270°) = 0 \) | \(\cos(\frac{3}{2}\pi) = 0 \) |
| \(\cos(360°) = 1\) | \(\cos(2\pi) = 1\) |
Aufgabe 4:
Berechne den Funktionswert \(\cos(\alpha)\) zum angegebenen Winkel \(\alpha\).
Stelle deinen Taschenrechner auf DEG, da die Winkel im Gradmaß angegeben sind. Runde deine Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Beispiel: \[ \cos(60^\circ)=0{,}50 \] |
| a) \(\cos(0^\circ)=\square\) | i) \(\cos(160^\circ)=\square\) |
| b) \(\cos(20^\circ)=\square\) | j) \(\cos(180^\circ)=\square\) |
| c) \(\cos(40^\circ)=\square\) | k) \(\cos(240^\circ)=\square\) |
| d) \(\cos(60^\circ)=\square\) | l) \(\cos(280^\circ)=\square\) |
| e) \(\cos(80^\circ)=\square\) | m) \(\cos(300^\circ)=\square\) |
| f) \(\cos(100^\circ)=\square\) | n) \(\cos(330^\circ)=\square\) |
| g) \(\cos(120^\circ)=\square\) | o) \(\cos(360^\circ)=\square\) |
| h) \(\cos(140^\circ)=\square\) |
Aufgabe 5:
Berechne den Funktionswert \(\cos(x)\) zum angegebenen Winkel \(x\) im Bogenmaß.
Stelle deinen Taschenrechner auf RAD, da die Winkel im Bogenmaß angegeben sind. Runde deine Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Beispiel: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=0{,}50 \] |
| a) \(\cos(0)=\square\) | f) \(\cos(\pi)=\square\) |
| b) \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\square\) | g) \(\cos(1{,}5)=\square\) |
| c) \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\square\) | h) \(\cos(2)=\square\) |
| d) \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\square\) | i) \(\cos(2\pi)=\square\) |
| e) \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=\square\) |
Aufgabe 6: Winkel, die gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden, werden von einem Vollwinkel abgezogen (es wird die dazu passende Drehung gegen den Uhrzeigersinn ermittelt.
| Beispiel: \[\cos(-30°) = \cos(360° - 30°) = \cos(330°)\] |
| a) \(\cos(-45^\circ) = \square\) | b) \(\cos(-320^\circ) = \square\) |
| c) \(\cos(-90^\circ) = \square\) | d) \(\cos(-150^\circ) = \square\) |
| e) \(\cos(-30^\circ) = \square\) | f) \(\cos(-170^\circ) = \square\) |
| g) \(\cos(-60^\circ) = \square\) | h) \(\cos(-270^\circ) = \square\) |
| i) \(\cos(-150^\circ) = \square\) | j) \(\cos(-450^\circ) = \square\) |
| k) \(\cos(-210^\circ) = \square\) | l) \(\cos(-700^\circ) = \square\) |
Aufgabe 7: Mit dem Taschenrechner kannst du auch den Winkel berechnen. Es werden jedoch immer nur Winkel im Bereich \(-90^\circ \le x \le 90^\circ\) angezeigt. Die übrigen Werte musst du mithilfe der Eigenschaften der Kosinusfunktion bestimmen.
| Eigenschaften der Kosinusfunktion: |
| \(\cos(\alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\) (Positiver Wert) |
| \(-\cos(\alpha) = \cos(180^\circ + \alpha) = \cos(180^\circ - \alpha)\) (negativer Wert) |
| Beispiel: | |
\(\begin{align*}\cos(x) &= 0,6\\x &= \cos^{-1}(0,6)\\x &\approx 53,13°\end{align*}\) \(\alpha_1 \approx 53,13°\) \(\alpha_2 \approx 360° - 53,13° = 306,87°\) | \(\begin{align*}\cos(x) &= -0,6\\x &= \cos^{-1}(-0,6)\\ x &= -\cos^{-1}(0,6)\\x &\approx 180° - 53,13° \approx 126,87°\end{align*}\) \(\alpha_1 \approx 180° - 53,13° = 126,87°\) \(\alpha_2 \approx 180° + 53,13° = 233,13°\) |
| a) \(\cos(x) = 0{,}5\) | b) \(\cos(x) = 0{,}6175\) |
| c) \(\cos(x) = -0{,}3\) | d) \(\cos(x) = 0{,}866\) |
| e) \(\cos(x) = -0{,}5\) | f) \(\cos(x) = 0{,}342\) |
| g) \(\cos(x) = -0{,}766\) | h) \(\cos(x) = 0{,}94\) |
| i) \(\cos(x) = -0{,}1736\) | j) \(\cos(x) = 0{,}7071\) |