Gemeinsame Teiler und der größte gemeinsame Teiler
Einstieg
Mario hat im Itemladen eingekauft.
Er hat 42 Feuerblumen und 36 Sterne in Tüten bekommen.
Nun möchte Mario daraus kleine Geschenke für seine Freunde machen. Jedes Geschenk soll genau gleich aussehen, damit niemand benachteiligt wird.
Es sollen dabei alle Feuerblumen und Sterne aufgebraucht werden.
Fragen:
- Wie viele Geschenke kann Mario packen, wenn alle Geschenke denselben Inhalt haben?
- Wie viele Feuerblumen und wie viele Sterne legt Mario in jedes Geschenk?
Merkkasten [TIMER:600]
Aufgabe 1: Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Definition: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei oder mehr Zahlen ist die größte natürliche Zahl, die alle diese Zahlen ohne Rest teilt. In anderen Worten, der ggT ist die größte Zahl, die ein Teiler von allen gegebenen Zahlen ist.
Es gilt: \[ggT(a,b) = ggT(b,a)\]
Der größte gemeinsame Teiler einer beliebigen natürlichen Zahl n und 1 ist 1.
\[ggT(12,1) = ggT(1, 12) = 1\]
Beispiel
\[ggT(10,2) = 2\]
\[ggT(15,10) = 5\]
\[ggT(17,11) = 1\]
Aufgaben / Übung [TIMER:1200]
Aufgabe 2: Finde den ggT für jedes der folgenden Zahlenpaare, indem du die Teilermengen erstellt und den größten gemeinsamen Teiler ermittelst:
| a) \(ggT(12,18) = \) | b) \(ggT(24,36) = \) |
| c) \(ggT(45,63) = \) | d) \(ggT(30,42) = \) |
| e) \(ggT(64,96) = \) | f) \(ggT(55,77) = \) |
| g) \(ggT(20,25) = \) | h) \(ggT(16,48) = \) |
Aufgabe 3: Finde den ggT für jedes der folgenden Zahlentripel, indem du die Teilermengen erstellt und den größten gemeinsamen Teiler ermittelst.
| a) \(ggT(9, 15, 21) = \) | b) \(ggT(18, 24, 36)=\) |
| c) \(ggT(27, 45, 63)=\) | d) \(ggT(12, 18, 30)=\) |
| e) \(ggT(36, 48, 72)=\) | f) \(ggT(25, 35, 55)=\) |
Aufgabe 4: Alina stellt aus einem farbigen Pappkarton quadratische Kärtchen her. Der Karton ist 56 cm lang und 40 cm breit. Die Kärtchen sollen so groß wie möglich werden. Vom Karton soll dabei aber kein kein Rest übrig bleiben.
a) Bestimme die Länge der Seiten der Kärtchen.
b) Berechne die Anzahl der Kärtchen!
a) Bestimme die Länge der Seiten der Kärtchen:
-
Erstelle die Teilermenge für 56 und 40:
- Die Teilermenge von 56 ist \(T_{56} = \left\{1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56\right\}\).
- Die Teilermenge von 40 ist \(T_{40} = \left\{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\right\}\).
-
Finde die größte gemeinsame Zahl in beiden Teilermengen:
- Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 56 und 40 ist 8.
Das bedeutet, dass die Seitenlänge der Kärtchen 8 cm beträgt.
b) Berechne die Anzahl der Kärtchen:
\[\frac{56 cm}{8 cm} * \frac{40 cm}{8 cm} = 7 \cdot 5 = 35\].
Es können insgesamt 35 Kärtchen hergestellt werden.
Einstieg
Prinzessin Peach entwirft ein neues Bonuslevel für die Klempnerbrüder Mario und Luigi.
Im Level sollen 252 gelbe Münzen und 112 rote Münzen gesammelt werden.
Die Münzen möchte sie gerecht und gleichmäßig auf mehrere Räume verteilen, sodass jeder Raum jeweils die gleiche Anzahl gelber und roter Münzen enthält – und keine Münze übrig bleibt.
Fragen:
- Wie viele Räume kann Peach so anlegen?
- Wie viele Münzen jeder Farbe liegen dann in einem Raum?
Verfahren: Euklidischer Algorithmus
Ausgangspunkt: Du hast zwei positive ganze Zahlen, z.B. a und b, für die du den ggT finden möchtest.
- Schritt 1: Ziehe die kleinere Zahl von der größeren Zahl ab
- Schritt 3: Wiederhole Schritt 1, bis beide Zahlen gleich sind.
Ergebnis: Die gefundene Zahl ist der \(ggT()\).
Euklidischer Algorithmus – Subtraktion
Pro Schritt wird der kleinere Balken vom größeren abgezogen, bis beide gleich groß sind (→ ggT). Eingaben: 1–1000.
Aufgaben / Übung[TIMER:1200]
Aufgabe 5: Berechne den ggT von zwei gegebenen Zahlen mithilfe des euklidischen Algorithmus.
| a) \(ggT(56, 42)=\) | b) \(ggT(120, 90)=\) |
| c) \(ggT(72, 48)=\) | d) \(ggT(81, 63)=\) |
| e) \(ggT(45, 30)=\) | f) \(ggT(66, 54)=\) |
| g) \(ggT(48, 36)=\) | h) \(ggT(99, 77)=\) |
| i) \(ggT(108, 84)=\) | j) \(ggT(36, 25)=\) |
| k) \(ggT(96, 64)=\) | l) \(ggT(30, 20)=\) |
Lösung zu Aufgabe 5:
| 1 | 6 | 9 |
| 10 | 11 | 12 |
| 12 | 14 | 15 |
| 24 | 30 | 32 |
Aufgabe 6: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Definition: Teilerfremd
Zwei Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler 1 ist, heißen Teilerfremd.