Teilbarkeit II (Quersummenregeln)
Einstieg
Mario betritt die Spielhalle und möchte ein Bonuslevel freischalten.
Auf dem Bildschirm erscheinen plötzlich verschiedene Zahlen: 18, 27, 36, 45 …
Mario staunt: „Komisch, all diese Zahlen scheinen etwas gemeinsam zu haben. Aber was genau?“
Um sie besser im Kopf zu behalten, nutzt er seinen Fingertrick für die 9er-Reihe:
Er klappt nacheinander jeden Finger ein und erkennt sofort, welche Zahl als nächstes kommt.
Lernfragen:
- „Was fällt euch an diesen Zahlen auf?“
- „Gibt es vielleicht ein Muster bei den Ziffern?“
- „Wie könnte man schnell herausfinden, ob auch andere Zahlen (z. B. 72 oder 81) dazugehören?“
Mario startet mit allen zehn Fingern offen. Um 9x1 zu zählen, klappt er den Daumen der linken Hand herunter. Es bleiben 9 Finger oben.
- Links vom geklappten Finger sind 0 Finger und rechts 9 Finger.
Nachdem er den Daumen geklappt hat, öffnet er ihn wieder.
Nun zählt Mario 9x2. Er klappt den Zeigefinger der linken Hand herunter. Es bleiben 9 Finger oben.
- Links vom geklappten Finger ist 1 Finger (Daumen) und rechts 8 Finger.
Danach öffnet er den Zeigefinger wieder.
Für 9x3 klappt Mario den Mittelfinger der linken Hand weg. Es bleiben wieder 9 Finger oben.
- Links vom geklappten Finger sind 2 Finger (Daumen und Zeigefinger) und rechts 7 Finger.
Nach dem Klappen öffnet er den Mittelfinger wieder.
Für jede Multiplikation der 9er-Reihe klappt Mario einen Finger nach dem anderen weg. Es bleiben immer 9 Finger oben, weil nur ein Finger zur Darstellung jeder Zahl heruntergeklappt wird.
Die Anzahl der Finger links vom geklappten Finger entspricht der Zehnerstelle des Ergebnisses, während die Anzahl der Finger rechts die Einerstelle des Ergebnisses darstellt. Dennoch ist die Summe der verwendeten Finger immer 9!
Merkkasten [TIMER:600]
Definition: Quersumme
Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl. Man berechnet sie, indem man die Ziffern nacheinander addiert.
Beispiel
| \(1\) | \(\rightarrow \textrm{Quersumme}: 1\) |
| \(99\) | \(\rightarrow \textrm{Quersumme}: 9 + 9 = 18\) |
| \(348\) | \(\rightarrow \textrm{Quersumme}: 3 + 4 + 8 = 15\) |
Aufgabe 1: Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Aufgabe 2: Bilde die Quersummen der folgenden Zahlen.
| \(17 \rightarrow QS:\) | \(37 \rightarrow QS:\) |
| \(54\rightarrow QS:\) | \(85 \rightarrow QS:\) |
| \(99 \rightarrow QS:\) | \(185 \rightarrow QS:\) |
| \(653 \rightarrow QS:\) | \(944 \rightarrow QS:\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
Aufgabe 3: Bilde die Quersummen für die folgenden 20 Zahlen:
Beispiel:
|
Zahlen der Länge 3:
a) 123 → QS:
b) 456 → QS:
c) 789 → QS:
d) 246 → QS:
e) 135 → QS:
Zahlen der Länge 4:
a) 8701 → QS:
b) 5432 → QS:
c) 9810 → QS:
d) 2671 → QS:
e) 1591 → QS:
Zahlen der Länge 5:
a) 43210 → QS:
b) 87654 → QS:
c) 34567 → QS:
d) 21098 → QS:
e) 75312 → QS:
Zahlen der Länge 6:
a) 698765 → QS:
b) 124567 → QS:
c) 579876 → QS:
d) 384123 → QS:
e) 617890 → QS:
Augabe 4: Die markierten Zahlen sind alle durch 3 teilbar.
a) Zeige dies, indem du für je eine der markierten Zahlen aus jedem Block eine schriftliche Division durchführst.
b) Finde eine Gemeinsamkeit der markierten Zahlen und formuliere eine geeignete Tielbarkeitsregel durch 3.
Eine Zahl ist durch ... teilbar, wenn ...
c) Stelle anhand deiner Regel eine Vermutung auf, welche der obigen Zahlen durch 9 teilbar sind.
Merkkasten [TIMER:600]
Aufgabe 5: Übertrage die Merkkästen und die Beispiele in dein Heft.
Definition: Teilbarkeit durch 3
Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Beispiel
| teilbar durch 3 | nicht teilbar durch 3 |
15 126 984 | 19 124 984.235 |
Definition: Teilbarkeit durch 9
Eine natürliche Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiel
| teilbar durch 9 | nicht teilbar durch 9 |
18 126 882 | 19 124 984.235 |
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
Aufgabe 6: Ermittle, ob die Zahlen jeweils durch 3 oder 9 teilbar sind. Stelle einen Zusammenhang zwischen "Teilbarkeit durch 3" und "Teilbarkeit durch 9" her.
| Zahl | Quersumme | Teilbar durch 3 | Teilbar durch 9 |
|---|---|---|---|
| a) 3420 | |||
| b) 9102 | |||
| c) 9111 | |||
| d) 30405 | |||
| e) 987654321 | |||
| f) 1337 | |||
| g) 24681 | |||
| h) 321123 |
| Zahl | Quersumme | Teilbar durch 3 | Teilbar durch 9 | |
|---|---|---|---|---|
| a) 3420 | 9 | ✓ | ✓ | |
| b) 9102 | 12 | ✓ | ||
| c) 9111 | 12 | ✓ | ||
| d) 30405 | 12 | ✓ | ||
| e) 987654321 | 45 | ✓ | ✓ | |
| f) 1337 | 14 | |||
| g) 24681 | 21 | ✓ | ||
| h) 321123 | 12 | ✓ |
Merkkasten [TIMER:90]
Aufgabe 7: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Ergänzung: Teilbarkeit durch 9
Eine natürliche Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist immer auch durch 3 teilbar.
Aufgaben / Übung [TIMER:1200]
Aufgabe 8: Prüfe, ob \(567\) ein Vielfaches von \(3\) ist. Begründe deine Antwort.
Aufgabe 9: Ermittle, ob \(4.815\) ein Vielfaches von \(9\) ist.
Aufgabe 10:
a) Finde die größte dreistellige Zahl, die durch drei teilbar und nicht durch 9 teilbar ist.
b) Finde die kleinste vierstellige Zahl, die ein Vielfaches von \(3\) aber kein Vielfaches von \(9\) ist.
Aufgabe 11: Untersuche, welche der folgenden Zahlen Vielfache von \(3\) und/oder \(9\) sind. Erkläre deine Entscheidungen.
| a) \(25.382.538\) | b) \(72.457.245\) |
| c) \(98.019.801\) | d) \(61.236.123\) |
Aufgabe 12: Prüfe anhand von Beispielen und Berechnungen, ob die Behauptung einer Schülerin wahr ist. Begründe deine Antwort.
Wenn die Quersumme der Quersumme einer Zahl durch \(3\) teilbar ist, muss auch die ursprüngliche Zahl durch \(3\) teilbar sein.
Aufgabe 13: Finde die kleinste fünfstellige Zahl, die durch \(3\) und nicht durch \(9\) ohne Rest teilbar ist.
Aufgabe 14: Überprüfe, ob die Zahl \(12.345\) durch \(3\) und/oder \(9\) ohne Rest teilbar ist, indem du die Teilbarkeitsregeln anwendest.
Aufgabe 15: Formuliere eine Liste von fünf Zahlen, die durch \(9\) ohne Rest teilbar sind. Erkläre, wie du sicherstellst, dass sie die Teilbarkeitsregel für \(9\) erfüllen.
Aufgabe 16: Untersuche, ob es möglich ist, eine zweistellige Zahl zu finden, die durch \(9\) ohne Rest teilbar ist, aber nicht durch \(3\). Begründe deine Antwort.
Aufgabe 17: Ermittle die kleinste natürliche Zahl, die sowohl durch \(3\) als auch durch \(9\) ohne Rest teilbar ist.
Zusatzaufgabe: Überprüfe, ob die Summe von drei aufeinanderfolgende Zahlen immer auch durch 3 teilbar ist.
Ja, die Zahl ist ein Vielfaches der Zahl 3, da sie durch 3 teilbar ist.
4815 ist durch 9 teilbar, da die Quersumme 18 durch 9 teilbar ist.
a) \(996\) ist die größte dreistellige Zahl, die durch 3 und nicht durch 9 teilbar ist.
b) \(1002\) ist die kleinste vierstellige Zahl für die die Anforderung gilt.
| Zahl | Quersumme | teilbar durch 3 | teilbar durch 9 |
| a) \(25.382.538\) | \(36\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) |
| b) \(72.457.245\) | \(36\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) |
| c) \(98.019.801\) | \(36\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) |
| d) \(61.236.123\) | \(24\) | \(\checkmark\) |
Wenn auf Teilbarkeit durch 3 geprüft werden soll, überprüfen wir stattdessen, ob die Quersumme durch 3 teilbar ist. Weil diese Zahl ebenfalls durch 3 teilbar ist, können wir an dieser Stelle auch erneut die Quersumme bilden, um diese auf Teilbarkeit zu überprüfen.
\(10.002\)
Die Zahl \(12.345\) ist durch 3 und nicht durch 9 teilbar.
Quersumme: \(15\), diese ist durch 3 und nicht durch 9 teilbar.
Zahlen
- \(27\)
- \(333\)
- \(801\)
- \(10.008\)
- \(99882\)
Man muss die Quersumme berechen und schauen, ob diese durch 9 teilbar ist.
Nein das ist nicht möglich, da eine durch 9 teilbare Zahl immer auch durch 3 teilbar ist.
\(0\)
Buddy-Book [TIMER:2100]
Arbeitsauftrag: Buddybook zu den Teilbarkeitsregeln erstellen
- Wende dein Wissen an und erstelle ein Buddybook zu den Teilbarkeitsregeln 2, 3, 4, 5, 9, 10 und 25. Nutze das Vorlagenpapier (Raster), um die Regeln in verständlichen Schritten zu erklären. Verwende Merksätze und passende Beispiele.
- Wir ergänzen die Regel der Teilbarkeit durch 6 später gemeinsam im Unterricht.
- Gestalte dein Buddybook kreativ und übersichtlich, damit es für andere leicht nachvollziehbar ist.
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
Aufgabe 18: Überprüfe, ob die Zahl \(360\) durch \(2\) und \(9\) ohne Rest teilbar ist. Begründe deine Antwort.
Aufgabe 19: Finde eine dreistellige Zahl, die sowohl durch \(4\) als auch durch \(5\) teilbar ist und deren Quersumme \(9\) ergibt.
Aufgabe 20: Untersuche, ob die Zahl \(4.950\) durch \(2\), \(5\), und \(9\) ohne Rest teilbar ist.
Aufgabe 21: Prüfe, ob die Zahl \(120\) ein Vielfaches von \(3\) und \(2\) ist. Bestimme alle einstelligen Teiler der Zahl und begründe deine Antwort.
Aufgabe 22: Finde eine fünfstellige Zahl, die sowohl durch \(10\) als auch durch \(9\) teilbar ist.
Aufgabe 23: Untersuche, ob die Zahl \(2.340\) durch \(2\), \(3\), \(4\), und \(5\) ohne Rest teilbar ist. Erkläre, wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist.
Aufgabe 24: Überprüfe die Zahl \(1.234.5\), ob sie ein Vielfaches von \(3\) und \(5\) ist.
Aufgabe 25: Finde eine dreistellige Zahl, die durch \(10\) und \(4\) ohne Rest teilbar ist und deren Quersumme \(12\) beträgt.
Aufgabe 26: Untersuche, ob die Zahl \(2.700\) durch \(3\), \(5\), und \(9\) ohne Rest teilbar ist.
Aufgabe 27: Ermittle die kleinste positive ganze Zahl, die durch \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(9\) und \(10\) ohne Rest teilbar ist. Begründe deine Antwort.
Merkkasten [TIMER:480]
Definition: Teilbarkeit durch 6
Eine natürliche Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Beispiel
| teilbar durch 6 | nicht teilbar durch 6 |
18 (QS: \(1 + 8 = 9\), letzte Stelle ist eine 8) 126 (QS: \(1 + 2 + 6 = 9\), letzte Stelle ist eine 6) 882 (QS: \(8 + 8 + 2 = 18\), letzte Stelle ist eine 2) | 22 (QS: \(2 + 2 = 4\), letzte Stelle ist eine 2) 123 (QS: \(1 + 2 + 3 = 6\), letzte Stelle ist eine 3) 984.235 (QS: \(9 + 8 + 4 + 2 + 3 + 5 = 31\), letzte Stelle ist eine 5) |
Aufgabe 28: Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Aufgabe 29: Zeige, welche der angegebenen Zahlen durch 6 teilbar ist. Wenn sie nicht durch 6 teilbar ist, bestimme die nächste Zahl, die durch 6 teilbar ist.
| a) \(123456\) | b) \(43857\) | c) \(222\) | d) \(1442\) |
| e) \(987\) | f) \(249\) | g) \(7422\) | h) \(18642\) |
Anzahl der Zahlen ohne angegebene Teiler im Intervall (??)
Aufgabenbeschreibung:
Gegeben ist ein Intervall von X bis Y (einschließlich X und Y) sowie eine Liste von Teilerzahlen. Deine Aufgabe ist es, die Anzahl der Zahlen im Intervall zu finden, die keinen der angegebenen Teiler haben.
Der "Kopfweg"
-
Beginne mit der Zahl X und gehe schrittweise bis zur Zahl Y.
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Überlege dir, ob es eine Gemeinsamkeit der Zahlen gibt und notiere nur die Zahlen, die in Frage kommen können.
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Für jede notierte Zahl im Intervall überprüfe, ob sie durch mindestens einen der angegebenen Teiler ohne Rest geteilt werden kann. (Teilbarkeitsregeln)
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Wenn die Zahl von keinem der Teiler ohne Rest geteilt werden kann, notiere sie.
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Fortfahren, bis du alle notierten Zahlen im Intervall überprüft hast.
-
Zähle die notierten Zahlen und notiere die Anzahl der Zahlen, die keinen Teiler haben.
Der "Ausdauerweg"
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Beginne mit der Zahl X und gehe schrittweise bis zur Zahl Y.
-
Für jede Zahl im Intervall überprüfe, ob sie durch mindestens einen der angegebenen Teiler ohne Rest geteilt werden kann. (Teilbarkeitsregeln)
-
Wenn die Zahl von keinem der Teiler ohne Rest geteilt werden kann, notiere sie.
-
Fortfahren, bis du alle Zahlen im Intervall überprüft hast.
-
Zähle die notierten Zahlen und notiere die Anzahl der Zahlen, die keinen Teiler haben.