Proportionalitätsfaktor
Definition: Proportionalitätsfaktor
Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert immer gleich.
Diesen gleichbleibenden Quotienten nennt man Proportionalitätsfaktor \(k\).
\[ k = \frac{\text{zugeordnete Größe } y}{\text{Ausgangsgröße } x} \]
Mit dem Proportionalitätsfaktor kann man proportionale Zusammenhänge schnell überprüfen und fehlende Werte berechnen.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Übertrage die Tabellen in dein Heft und fülle sie aus. Erkläre jeweils die Bedeutung des Quotienten.
a)
| Anzahl | Preis [in €] | \(\frac{\text{Preis}}{\text{Anzahl}}\) [in €] |
| 18 | 5,40 | \(5,40 : 18 = 0,30\) |
| 9 | \(\square\) | \(\square\) |
| 6 | \(\square\) | \(\square\) |
| 3 | \(\square\) | \(\square\) |
b)
| Volumen [in cm³] | Masse [in g] | \(\frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}\) [in g/cm³] |
| 90 | 702 | \(702 : 90 = 7,8\) |
| 45 | \(\square\) | \(\square\) |
| 30 | \(\square\) | \(\square\) |
| 15 | \(\square\) | \(\square\) |
c)
| Länge [in m] | Preis [in €] | \(\frac{\text{Preis}}{\text{Länge}}\) [in €/m] |
| 12 | 119,88 | \(119,88 : 12 = 9,99\) |
| 6 | \(\square\) | \(\square\) |
| 4 | \(\square\) | \(\square\) |
| 3 | \(\square\) | \(\square\) |
Aufgabe 2: Der Airbus A 330 verbraucht in drei Flugstunden 21300 Liter Kerosin. Er bietet 250 Passagieren Platz und legt in dieser Zeit 2850 km zurück.
a) Berechne den Proportionalitätsfaktor zur Zuordnung Flugdauer Verbrauch. Erkläre die Bedeutung dieses Proportionalitätsfaktors.
b) Berechne den Proportionalitätsfaktor zur Zuordnung Zeit Strecke. Erkläre die Bedeutung dieses Proportionalitätsfaktors.
Aufgabe 3: Berechne jeweils den Proportionalitätsfaktor k und erkläre die Bedeutung für jede Tabelle.
a) Personenzahl → Fahrtkosten
| Anzahl | Fahrtkosten [in €] | \(\frac{\text{Fahrtkosten}}{\text{Anzahl}}\) |
| 35 | 1400 | |
| 1 | \(\square\) |
b) Arbeitszeit → Lohn
| Arbeitszeit [in h] | Lohn [in €] | \(\frac{\text{Lohn}}{\text{Arbeitszeit}}\) |
| 40 | 515,20 | |
| 1 | \(\square\) |
c) Benzinmenge → Fahrstrecke
| Volumen [in l] | Strecke [in km] | \(\frac{\text{Strecke}}{\text{Volumen}}\) |
| 27 | 600 | |
| 1 | \(\square\) |
Ergänzung zum Proportionalitätsfaktor
Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für proportionale Funktionen lautet
\[f(x) = k \cdot x\]
oder
\[y = k \cdot x\]
Aufgabe 4: Ein Kupferbarren hat ein Volumen von 120 cm³ und eine Masse von 1068 g: Volumen Masse
a) Berechne k und gib die Zuordnungsvorschrift an.
b) Berechne die Masse eines Kupferbarrens mit einem Volumen von 540 cm³ (345 cm³, 95 cm³, 770 cm³)
Aufgabe 5: Ein Pkw legt eine Strecke von 169,5 km in drei Stunden zurück: Zeit zurückgelegte Strecke
a) Berechne k und gib die Zuordnungsvorschrift an.
b) Berechne die Strecke, die in zwei (fünf, sechs) Stunden zurückgelegt wird.
Aufgabe 6: In 45 Minuten benötigt ein elektrischer Heizlüfter für 27 Cent elektrische Energie.
a) Berechne k und gib die Zuordnungsvorschrift an.
b) Berechne die Energiekosten, die in 12 Minuten (54 Minuten, 63 Minuten, 75 Minuten, 6 Stunden) entstehen.
Aufgabe 7: Ein Läufer legt in 26 Minuten 10000 m zurück.
a) Berechne den Proportionalitätsfaktor der Zuordnung Zeit Strecke und gib die Zuordnungsvorschrift an. Runde sinnvoll.
b) Berechne die Strecke, die dieser Läufer in 20 s (70 s, 5 min) zurücklegt.
Aufgabe 8: Jannicks Mutter tauscht auf der Bank 500 € gegen 680 $ ein.
a) Berechne den Proportionalitätsfaktor und gib die Zuordnungsvorschrift an.
b) Gib die Anzahl der Dollar an, die Jannicks Mutter für 150 € (720 €, 1280 €) erhält.
c) Berechne die Anzahl der Euros, die für 200 $ benötigt werden.
Lösung (Aufgaben 4 - 8):
| 0,6 | 1,36 | 7,2 | 8,9 |
| 32,4 | 37,8 | 45 | 56,5 |
| 113 | 204 | 216 | 282,5 |
| 339 | 384,6 | 845,5 | 979,2 |
| 1740,8 | 3070,5 | 4806 | 6853 |
| 7692,3 | 26923,1 | 115384,6 |
Aufgabe 9: Bei der Formel 1 haben die Fahrer an verschiedenen Tagen verschieden lange Trainingseinheiten.
Entscheide und begründe, ob der Fahrer besser geworden ist.
| Zurückgelegte Strecke [in km] | Benötigte Zeit [in min : s] |
|---|---|
| 15 | 3:45 |
| 17 | 4:15 |
| 23 | 5:45 |
| 9 | 2:15 |
| 16 | 3:55 |
Aufgabe 10: Zeige an einem selbstgewählten Beispiel aus der Realität, dass eine Zuordnung dem Prinzip „Je mehr, desto mehr“ folgen kann, aber trotzdem nicht proportional ist.
Aufgabe 11:
a) Überprüfe jeweils, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt.
b) Falls eine proportionale Zuordnung vorliegt, berechne den Proportionalitätsfaktor und erkläre kurz, was dieser angibt.
(A) Weinkauf
| Anzahl | Preis |
|---|---|
| 7 Flaschen | 21,70 € |
| 8 Flaschen | 24,80 € |
| 9 Flaschen | 27,90 € |
(B) Metallteile
| Volumen | Masse |
|---|---|
| 5 cm³ | 47,0 g |
| 12 cm³ | 115,8 g |
| 16 cm³ | 166,2 g |
(C) Testfahrt
| Entfernung | Zeit |
|---|---|
| 209 km | 1 h 55 min |
| 108 km | 1 h 15 min |
| 167 km | 1 h 35 min |
Aufgabe 12: Entscheide und begründe jeweils, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Gib den Proportionalitätsfaktor an, falls möglich und beschreibe, was dieser angibt.
a)
| Masse [in kg] | Preis [in €] |
|---|---|
| 1,5 | 6 |
| 4,5 | 18 |
| 0,5 | 2 |
b)
| Volumen [in cm³] | Masse [in g] |
|---|---|
| 120 | 180 |
| 30 | 45 |
| 270 | 425 |
c)
| Länge [in m] | Zeit [in s] |
|---|---|
| 6 | 15,6 |
| 2 | 5,2 |
| 26 | 67,6 |
d)
| Stückzahl | Preis [in €] |
|---|---|
| 217 | 585,90 |
| 454 | 1117,80 |
| 1085 | 2636,55 |
Aufgabe 13: Matthias hat im Laden Blutorangen gekauft und dafür 2,79 € bezahlt.
a) Lies den Proportionalitätsfaktor vom Verkaufsschild ab. Erkläre, was dieser angibt.
b) Übertrage die Tabelle in dein Heft und vervollständige.
| Blutorangen [in kg] | Preis [in €] |
|---|---|
| 2 kg | |
| 2,5 kg | |
| 7 kg | |
| 500 g | |
| 750 g | |
| 1,25 kg |
Aufgabe 14: Beim Echoloten sendet man Schallwellen auf den Meeresgrund. Bei einer Wassertiefe von 1500 m kehren diese nach 2 Sekunden zurück.
a) Berechne den Proportionalitätsfaktor k und gib die Zuordnungsvorschrift an.
b) Berechne die Wassertiefe für 1,5 s (2,9 s, 0,6 s, 0,2 s, 2,2 s). Gib als Tabelle an.