Kongruenzsatz - Seite-Seite-Winkel
Einstieg
Anton vergleicht seine Rampe mit der ersten (fehlgeschlagenen) Rampe von Björn.
a) Skizziere (mit Geodreieck) die Grafik in dein Heft und markiere die Seiten, die bei Anton und Björn jeweils gleich lang sind.
b) Überlege, welche zusätzlichen Angaben Björn hätte verwenden können, damit seine Rampe eindeutig gebaut werden kann. Schreibe diese Angaben auf und benenne jeweils den daraus resultierenden Kongruenzsatz.
c) Begründe, warum deine Angaben aus Aufgabe b) die Eindeutigkeit der Konstruktion gewährleisten.
Definition: Kongruenzsatz Seite-Seite-Winkel (SsW)
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und einem nicht eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind nur dann kongruent zueinander, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüber liegt.
Aufgabe 1: Fertige jeweils eine Planfigur an. Entscheide und begründe, welches Dreieck eindeutig konstruiert werden kann. Gib in diesem Fall den zugrundeliegenden Kongruenzsatz an.
\(\triangle ABC \textrm{ mit } c=3 \ cm; b = 4 \ cm; \alpha = 50^\circ\)
\(\triangle A'B'C' \textrm{ mit } a=3 \ cm; b = 4 \ cm; \beta = 50^\circ\)
\(\triangle A''B''C'' \textrm{ mit } c=3 \ cm; a = 4 \ cm; \alpha = 50^\circ\)
\(\triangle A'''B'''C''' \textrm{ mit } c=3 \ cm; b = 4 \ cm; a = 5 \ cm\)
Aufgabe 3: Konstruiere die folgenden Dreiecke auf unliniertem Papier. Vergleiche deine Konstruktion mit deinem Nachbarn.
| Bezeichner | Seite 1 | Seite 2 | Winkel |
|---|---|---|---|
| a) \(\Delta ABC\) | \(a = 3 \ cm\) | \(c = 5 \ cm\) | \(\gamma = 60^\circ\) |
| b) \(\Delta ABC\) | \(c = 8 \ cm\) | \(b = 5 \ cm\) | \(\gamma = 90^\circ\) |
| c) \(\Delta ABC\) | \(a = 7 \ cm\) | \(b = 6 \ cm\) | \(\alpha = 110^\circ\) |
| d) \(\Delta ABC\) | \(b = 6 \ cm\) | \(c = 5 \ cm\) | \(\beta= 70^\circ\) |
| e) \(\Delta ABC\) | \(a = 5 \ cm\) | \(b = 5 \ cm\) | \(\beta = 60^\circ\) |
| f) \(\Delta ABC\) | \(a = 10 \ cm\) | \(b = 8 \ cm\) | \(\alpha = 90^\circ\) |
Aufgabe 4: Beantworte die 5 Fragen für dich im Heft. Die Antworten sind grundsätzlich unter Zuhilfenahme mathematischer Sätze zu begründen!
- Überlege, ob die Dreiecke mit den Seitenlängen \(a = 6 \ cm\), \(b = 8 \ cm\), \(\alpha = 60^\circ\) und \(x = 8 \ cm\), \(y = 6 \ cm\) mit \(\delta = 60^\circ\) gegenüber von \(X\) nach dem Kongruenzsatz SsW kongruent sind. Begründe deine Antwort.
- Beschreibe, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SsW kongruent sind. Notiere die Bedingungen in eigenen Worten.
- Überprüfe, ob die Dreiecke mit den Seitenlängen \(a = 5 \ cm\), \(b = 6 \ cm\), \(\beta = 90^\circ\) und \(x = 5 \ cm\), \(y = 6 \ cm\), \(\delta = 90^\circ\) gegenüber von \(Y\) nach dem Kongruenzsatz SsW kongruent sind. Begründe deine Antwort.
- Überlege, warum es nicht ausreicht, einen beliebigen anliegenden Winkel anzugeben. Notiere deine Überlegungen.