Dreiecke - Höhe
Einstieg
Anton und Björn lieben es, mit ihren Fahrrädern über Rampen zu springen. Beide haben eine identische Dreiecksrampe gebaut, die sie stolz vergleichen. „Meine Rampe ist genauso groß wie deine!“, behauptet Björn.
Doch plötzlich fragt Anton: „Hast du eigentlich schon ausgerechnet, wie hoch unsere Rampe ist? Ich meine, die Höhe ist doch entscheidend für unsere Sprünge!“ Beide schauen sich ratlos an – sie wissen nur die Längen der Seiten, aber nicht, wie hoch ihre Rampe tatsächlich ist.
Wie können Anton und Björn die Höhe ihrer Rampen berechnen? Und was bedeutet das für die Weite ihrer Sprünge? Finde heraus, welche Rolle die Höhe des Dreiecks spielt und ob beide wirklich identische Rampen haben!
Währenddessen kommt Clemens dazu und wirft ein: „Ich habe zwei andere Höhenwerte herausgefunden. Die stimmen auch! Ihr könnt mit der Rampe auch Sprünge aus 6 dm oder sogar 7,4 dm Höhe machen!!“
Hat Clemens recht? Finden wir es gemeinsam heraus: Kann Björn wirklich eine andere Höhe messen? Welche Werte stimmen, und was bedeutet das für die Rampen?
Aufgabe 1:
a) Konstruiere das Dreieck (in cm anstatt dm) mithilfe eines beliebigen Kongruenzsatzes.
| \(a = 8 \ dm\) | \(b = 6,5 \ dm\) | \(c = 12 \ dm\) |
| \(\alpha = 38^\circ\) | \(\beta = 30^\circ\) | \(\gamma = 112^\circ\) |
b) Bestimme die Höhe der Rampe, wenn diese auf dem Boden liegt.
c) Überprüfe, ob Clemens ebenfalls Recht hat. Nimm begründet Stellung!
Definition: Höhen im Dreieck
Die Dreieckshöhe ist der senkrechte Abstand eines Eckpunkts zur gegenüberliegenden Seite, die als Grundseite definiert wird. Sie steht stets rechtwinklig auf der Grundseite und hängt von deren Länge sowie der Lage der anderen Dreiecksseiten ab.
| Grundseite | Höhe |
|---|---|
| \(a\) | \(h_a\) |
| \(b\) | \(h_b\) |
| \(c\) | \(h_c\) |
Ergänzung: Höhe im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen, die Höhe der jeweils anderen Dreiecksseite.
Ergänzung: Höhe im stumpfwinkligen Dreieck
Im stumpfwinkligen Dreieck befinden sich zwei der Höhenlinien außerhalb des Dreiecks.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 2:
a) Konstruiere die folgenden Dreiecke auf unliniertem Papier.
b) Miss alle Höhen und zeichne diese ein.
c) Vergleiche mit der Lösung.
| Bezeichner | Angabe 1 | Angabe 2 | Angabe 3 |
|---|---|---|---|
| a) \(\Delta ABC\) | \(a = 6 \ cm\) | \(b = 8 \ cm\) | \(c = 10 \ cm\) |
| b) \(\Delta ABC\) | \(a = 5 \ cm\) | \(c = 7 \ cm\) | \(\beta = 60^\circ\) |
| c) \(\Delta ABC\) | \(c = 6 \ cm\) | \(\beta = 70^\circ\) | \(\alpha = 70^\circ\) |
| d) \(\Delta ABC\) | \(a = 6 \ cm\) | \(b = 5 \ cm\) | \(\alpha = 120^\circ\) |
Lösung:
| \(h_a\) | \(h_b\) | \(h_c\) |
|---|---|---|
| \(2,1 \ cm\) | \(2,5 \ cm\) | \(4,3 \ cm\) |
| \(5,6 \ cm\) | \(4,9 \ cm\) | \(4,8 \ cm\) |
| \(6 \ cm\) | \(5,6 \ cm\) | \(4,9 \ cm\) |
| \(8 \ cm\) | \(6 \ cm\) | \(8,2 \ cm\) |
Dreiecke - Flächeninhalt
Anton, Björn und Clemens möchten ihre Rampe mit einer Außenverkleidung versehen, damit sie stabiler aussieht und besser gegen Wind und Wetter geschützt ist. Doch bevor sie zum Baumarkt fahren, müssen sie wissen, wie groß die Verkleidung sein soll.
„Wie groß ist eigentlich die Fläche unserer Rampe?“, fragt Anton. Björn hat die Maße des Dreiecks bereits notiert:
- Grundseite: \(c = 12 \ dm\)
- Seite 1: \(a = 8 \ dm\)
- Seite 2: \(b = 6,5 \ dm\)
Clemens ergänzt: „Vielleicht sollten wir die Fläche ausrechnen, damit wir wissen, wie viele Quadratmeter Material wir brauchen. Aber wie finden wir die Fläche heraus?“
Aufgabe 3:
a) Konstruiere das Dreieck in deinem Heft und zeichne die Höhe \(h_c\) ein.
b) Ergänze das Dreieck zu einem geeigneten Rechteck, da du die Berechnung dieses Flächeninhalts bereits kennst.
c) Formuliere eine geeignete Formel für das Dreieck.
\[\Large A_\triangle = \square\]
d) Begründe die Richtigkeit deiner Formel, indem du kongruente Dreiecke bestimmst.
Definition: Flächeninhalt im Dreieck
Der Flächeninhalt eines Dreiecks entspricht der Hälfte des Produkts seiner Grundseite und der dazugehörigen Höhe:\[A=\frac{1}{2}\cdot\text{Grundseite}\cdot \text{Höhe}\]
Daraus ergibt sich für ein beliebiges Dreieck \(\triangle ABC\):
\[A = \quad \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a \quad = \quad \frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b \quad = \quad \frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c\]
Aufgabe 4: Berechne den Flächeninhalt des Rampendreiecks für alle drei Seiten als Grundseite. Runde auf eine Nachkommastelle.
| \(a = 8 \ dm\) | \(b = 6,5 \ dm\) | \(c = 12 \ dm\) |
| \(\alpha = 38^\circ\) | \(\beta = 30^\circ\) | \(\gamma = 112^\circ\) |
| \(h_a = 6.06 \ dm\) | \(h_b = 7,45 \ dm\) | \(h_c = 4,04 \ dm\) |
Aufgabe 5: Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke.
| Dreieck | Grundseite | Höhe |
|---|---|---|
| \(\Delta ABC\) | \(a = 5 \, \text{cm}\) | \(h_a = 8 \, \text{cm}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(b = 1.2 \, \text{m}\) | \(h_b = 0.9 \, \text{m}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(c = 25 \, \text{mm}\) | \(h_c = 40 \, \text{mm}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(a = 2.5 \, \text{dm}\) | \(h_a = 1.8 \, \text{dm}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(b = 7 \, \text{km}\) | \(h_b = 3 \, \text{km}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(c = 4.5 \, \text{m}\) | \(h_c = 2.5 \, \text{m}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(a = 15 \, \text{cm}\) | \(h_a = 10 \, \text{cm}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(b = 3 \, \text{m}\) | \(h_b = 2.2 \, \text{m}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(c = 8 \, \text{mm}\) | \(h_c = 5 \, \text{mm}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(a = 12 \, \text{dm}\) | \(h_a = 9.5 \, \text{dm}\) |
Aufgabe 6: Konstruiere die Dreiecke und berechne anschließend den Flächeninhalt.
| Dreieck | Konstruktionsangaben |
|---|---|
| \(\Delta ABC\) | \(a = 5 \, \text{cm}, \; b = 6 \, \text{cm}, \; c = 7 \, \text{cm}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(a = 8 \, \text{cm}, \; b = 10 \, \text{cm}, \; c = 12 \, \text{cm}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(a = 6 \, \text{cm}, \; b = 7 \, \text{cm}, \; \gamma = 60^\circ\) |
| \(\Delta ABC\) | \(a = 5 \, \text{cm}, \; c = 8 \, \text{cm}, \; \beta = 45^\circ\) |
| \(\Delta ABC\) | \(\alpha = 40^\circ, \; \beta = 50^\circ, \; c = 6 \, \text{cm}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(\beta = 70^\circ, \; \gamma = 30^\circ, \; c = 9 \, \text{cm}\) |
| \(\Delta ABC\) | \(a = 7 \, \text{cm}, \; b = 9 \, \text{cm}, \; \beta = 40^\circ\) |
| \(\Delta ABC\) | \(b = 5 \, \text{cm}, \; c = 6 \, \text{cm}, \; \gamma = 110^\circ\) |
Aufgabe 7: Ein gleichseitiges Dreieck besitzt genau drei Symmetrieachsen.
a) Begründe, warum ein gleichseitiges Dreieck drei Symmetrieachsen hat.
b) Erkläre mithilfe der Kongruenzsätze, warum die Höhen im gleichseitigen Dreieck zugleich Symmetrieachsen sind.