Kreisumfang und π
Einstieg
Auf dem örtlichen Weihnachtsmarkt gibt es ein aufregendes Karussell mit vielen bunten Sitzen, die wie ein großer Kreis angeordnet sind. Die Kinder sind begeistert, doch sie fragen sich, wo sie sich hinsetzen sollten, um die größte Geschwindigkeit zu erleben.
Aufgabe: Stelle dir vor, du möchtest eine aufregende Fahrt auf dem Karussell machen und die größte Geschwindigkeit erleben. Überlege, auf welchem Sitzplatz du dich hinsetzen müsstest, um dieses Ziel zu erreichen. Begründe deine Entscheidung und erkläre, warum du denkst, dass dieser Sitzplatz am schnellsten ist.
Erarbeitung [TIMER:900]
Jetzt wirst du selbst zum Forscher! Du untersuchst verschiedene Kreise, um den Zusammenhang zwischen ihrem Umfang und ihrem Durchmesser herauszufinden.
Nutze die vorhandenen Kreise und eigene Gegenstände, die rund sind.
Aufgabe:
- Suche dir Kreise aus den vorhandenen gedruckten Kreisen oder wähle einen geeigneten Alltagsgegenstand aus.
- Miss den Durchmesser des Kreises mit einem Lineal oder Maßband und notiere das Ergebnis.
- Miss den Umfang des Kreises, indem du ihn vorsichtig abrollst und die Länge der abgerollten Strecke mit einem Maßband misst. Notiere auch diesen Wert.
- Berechne das Verhältnis \(\frac{u}{d}\).
- Wiederhole Schritte 1 bis 3 für verschiedene Kreise oder Alltagsgegenstände unterschiedlicher Größen.
| Name | Durchmesser \(d\) | Umfang \(u\) | Verhältnis \(\frac{u}{d}\) |
|---|---|---|---|
| Kreis | 5 cm | …… | …… |
| Cremedosendeckel | …… | …… | …… |
| Füllerkappe | …… | …… | …… |
Frage zum Nachdenken:
- Welche Beobachtungen kannst du über den Zusammenhang zwischen dem Durchmesser und dem Umfang der Kreise machen? Gibt es ein Muster oder eine Regel, die du erkennen kannst?
| Durchmesser \(d\) | Umfang \(u\) | Verhältnis \(\frac{u}{d}\) |
|---|---|---|
| \(1 \ cm\) | \(\approx 3,1 \ cm\) | \(\approx 3,1 \ cm\) |
| \(2 \ cm\) | \(\approx 6,3 \ cm\) | \(\approx 3,15 \ cm\) |
| \(3 \ cm\) | \(\approx 9,5 \ cm\) | \(\approx 3,16 \ cm\) |
| \(4 \ cm\) | \(\approx 12,6 \ cm\) | \(\approx 3,15 \ cm\) |
| \(5 \ cm\) | \(\approx 15,7 \ cm\) | \(\approx 3,14 \ cm\) |
| \(6 \ cm\) | \(\approx 18,9 \ cm\) | \(\approx 3,15 \ cm\) |
| \(7 \ cm\) | \(\approx 22 \ cm\) | \(\approx 3,142857 \ cm\) |
| \(8 \ cm\) | \(\approx 25,1 \ cm\) | \(\approx 3,1375 \ cm\) |
| \(9 \ cm\) | \(\approx 28,3 \ cm\) | \(\approx 3,14 \ cm\) |
| \(10 \ cm\) | \(\approx 31,4 \ cm\) | \(\approx 3,14 \ cm\) |
Definition: Kreiszahl π
Die Kreiszahl Pi (\(\pi\)) ist das Verhältnis des Umfangs \(u\) eines Kreises zum Durchmesser \(d\).
\[\Large\pi=\frac{u}{d}\]
Der Umfang eines Kreises \(u\) kann einfach berechnet werden, wenn der Durchmesser \(d\) bekannt ist. Die Formel lautet:
\[\Large u = \pi\cdot d\]
Aufgaben / Übung [TIMER:3600]
Aufgabe 1: Berechne den Umfang des Kreises. Runde auf zwei Nachkommastellen.
| Beispiel: \(d = 4 cm\) \[u = \pi \cdot d = \pi \cdot 4 \ cm = 4\pi \ cm \approx 12,57 cm\] |
| a) \(d = 10 \ cm,\quad u = \square\) | g) \(d = 13,4 \ m,\quad u = \square\) |
| b) \(d = 16 \ cm,\quad u = \square\) | h) \(d = 5 \ km,\quad u = \square\) |
| c) \(d = 24 \ m,\quad u = \square\) | i) \(d = 40 \ cm,\quad u = \square\) |
| d) \(d = 7 \ cm,\quad u = \square\) | j) \(d = 9,6 \ mm,\quad u = \square\) |
| e) \(d = 20 \ mm,\quad u = \square\) | k) \(d = 36 \ m,\quad u = \square\) |
| f) \(d = 30 \ mm,\quad u = \square\) | l) \(d = 14,4 \ dm,\quad u = \square\) |
Aufgabe 2: Verwende den Radius, um den Umfang zu berechnen. Gib das Ergebnis auf zwei Nachkomastellen gerundet an.
| Beispiel: \(r = 4 \ cm \Rightarrow d = 8 \ cm\) \[u = \pi \cdot d = \pi \cdot 8 \ cm = 8\pi \ cm \approx 25,13 cm\] |
| a) \(r = 6,3 \ cm,\quad u = \square\) | f) \(r = 5,9 \ m,\quad u = \square\) |
| b) \(r = 12,5 \ cm,\quad u = \square\) | g) \(r = 18,6 \ cm,\quad u = \square\) |
| c) \(r = 9,8 \ m,\quad u = \square\) | h) \(r = 3,2 \ mm,\quad u = \square\) |
| d) \(r = 2,2 \ cm,\quad u = \square\) | i) \(r = 20,4 \ m,\quad u = \square\) |
| e) \(r = 15,7 \ mm,\quad u = \square\) | j) \(r = 6,8 \ mm,\quad u = \square\) |
Aufgabe 3: Fertige jeweils eine Skizze an und berechne den gesuchten Wert.
| a) Ein Schwimmbecken hat einen Durchmesser von 8 Metern. Wie lang ist der Weg, den eine Schwimmerin zurücklegt, wenn sie einmal um den Beckenrand schwimmt? Berechne den Umfang des Schwimmbeckens. |
| b) In einem Park befindet sich ein runder Teich mit einem Radius von 5 Metern. Wie weit ist es um den Teich herum, wenn man eine Spaziergangsrunde darum macht? Berechne den Umfang des Teichs. |
Aufgabe 4:
| a) Ein Autoreifen hat einen Umfang von 2,1 Metern. Berechne den Durchmesser des Reifens. |
| b) Ein kreisförmiger Rasen hat einen Umfang von 400 Metern. Berechne den Umfang der Wiese. |
| c) Ein Gärtner möchte ein rundes Blumenbeet anlegen, dessen Umfang 15 Meter beträgt. Berechne den Durchmesser. |
Aufgabe 5: Zeichne den entsprechenden Kreis. Markiere den Umfang jedes Kreises mit einem farbigen Buntstift.
| a) \(r = 5 \ cm\) | d) \(d = 12 \ cm\) | g) \(u = 26,7 \ cm\) |
| b) \(r = 7 \ cm\) | e) \(d = 8 \ cm\) | h) \(u = 23,56 \ cm\) |
| c) \(r = 3,5 \ cm\) | f) \(d = 11 \ cm\) | i) \(u = 28,27 \ cm\) |
Ergebnissicherung
Aufgabe 6: Untersuche, wie die Länge der Ketten die Geschwindigkeit der Gondeln eines Kettenkarussells beeinflusst. Erkläre deine Beobachtung mathematisch.
Längere Ketten führen dazu, dass die Gondeln weiter außen fliegen. Dadurch wird der Radius der Kreisbahn größer. Bei gleicher Drehdauer ist der zurückgelegte Weg pro Umdrehung größer, also ist auch die Geschwindigkeit größer.
