Flächeninhalt
Einstieg
Frau Mustermann hat sich entschieden, im Garten zu grillen, und fragt Vater Mustermann, welchen Teller er für das Grillgut haben möchte. Sie hat zwei verschiedene Teller zur Auswahl: einen runden Teller und einen rechteckigen Teller.
Aufgabe: Schau dir die beiden Bilder der Teller an und überlege, welcher Teller besser geeignet ist, um das Grillgut darauf zu legen. Begründe deine Wahl.
Überlegungen:
- Welcher Teller bietet mehr Platz für das Grillgut?
- Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Form des Tellers und der Menge an Grillgut, die darauf passt?
- Welche Vorteile hat jeder Teller in Bezug auf das Grillen im Garten?
Erarbeitung
In dieser Aufgabe wirst du herausfinden, wie die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises hergeleitet werden kann, indem du ein Schülervideo ansiehst und anschließend eigene Überlegungen anstellst.
Schritt 1: Das Schülervideo
- Schaue dir das Schülervideo an, in dem Kreise aus verschiedenen Materialien gewogen werden. Beachte, wie unterschiedlich die Gewichte dieser Kreise sind und dass sie denselben Radius haben. Notiere dir deine Beobachtungen.
Schritt 2: Das Wiegen der Quadrate
- Stelle dir vor, du hast ein Quadrat aus dem gleichen Material wie die Kreise, das genau den gleichen Radius hat wie die Kreise im Video. Du wiegst dieses Quadrat. Notiere das Gewicht.
Schritt 3: Herleitung der Formel
-
Überlege, wie du die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises aus deinen Beobachtungen ableiten könntest. Beachte, dass du das Gewicht des Quadrats und seine Seitenlänge kennst.
-
Schreibe deine Überlegungen auf und erkläre, wie du zu deiner Schlussfolgerung gelangt bist. Wie hängen das Gewicht des Quadrats und die Fläche des Kreises zusammen?
Definition: Flächeninhalt des Kreises
Flächeninhalt:
Der Flächeninhalt eines Kreises (\(A\)) kann einfach berechnet werden, wenn der Radius (\(r\)) bekannt ist. Die Formel lautet:
\[\Large A = \pi\cdot r^2\]
Das bedeutet, um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, multiplizierst du einfach das Quadrat des Radius mit der Kreiszahl π.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Verwende den Radius, um den Flächeninhalt zu berechnen. Gib das Ergebnis auf zwei Nachkomastellen gerundet an.
Beispiel: r = 4 cm \[A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (4 \ cm)^2 = 16\pi \ cm^2 \approx 50,27 cm^2\]
a) r = 6,3 cm, A = ?
b) r = 12,5 cm, A = ?
c) r = 9,8 m, A = ?
d) r = 2,2 cm, A = ?
e) r = 15,7 mm, A = ?
f) r = 8,3 km, A = ?
g) r = 5,9 m, A = ?
h) r = 1,1 km, A = ?
i) r = 18,6 cm, A = ?
j) r = 3,2 mm, A = ?
k) r = 20,4 m, A = ?
l) r = 6,8 mm, A = ?
m) r = 11,2 cm, A = ?
n) r = 10,5 km, A = ?
o) r = 31,1 cm, A = ?
p) r = 4,9 m, A = ?
Lösung
| 3,80 | 15,21 | 32,17 | 75,43 |
| 109,36 | 124,69 | 145,27 | 216,42 |
| 301,72 | 346,36 | 394,08 | 490,87 |
| 774,37 | 1086,87 | 1307,41 | 3038.58 |
Aufgabe 2: Berechne den Flächeninhalt des Kreises, indem du zunächst den Radius aus dem Durchmesser berechnest. Runde auf zwei Nachkommastellen.
Beispiel: d = 4 cm => r = 2 cm \[A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (2 \ cm)^2 = 4\pi \ cm^2 \approx 12,57 cm^2\]
a) d = 10 cm, A = ?
b) d = 16 cm, A = ?
c) d = 24 m, A = ?
d) d = 7 cm, A = ?
e) d = 20 mm, A = ?
f) d = 30 mm, A = ?
g) d = 13,4 m, A = ?
h) d = 5 km, A = ?
i) d = 40 cm, A = ?
j) d = 9,6 mm, A = ?
k) d = 36 m, A = ?
l) d = 14,4 dm, A = ?
m) d = 19,2 cm, A = ?
n) d = 28 km, A = ?
o) d = 51 cm, A = ?
p) d = 12,6 m, A = ?
Lösung
| 19,63 | 38,48 | 72,38 | 78,54 |
| 124,69 | 141,03 | 162,86 | 201,06 |
| 289,53 | 315,16 | 452,39 | 615,75 |
| 706,86 | 1017,88 | 1256,64 | 2042,82 |
Aufgaben / Übung
Aufgabe 3:
a) Fläche eines Pizzastücks
Du bestellst eine Pizza mit einem Durchmesser von 30 Zentimetern. Berechne die Fläche eines einzelnen Pizzastücks, wenn die Pizza in 8 gleiche Stücke geteilt wird. Welche Fläche hat dein Pizzastück?
b) Gartenplanung
Dein Großvater möchte einen runden Blumen- und Gemüsegarten in seinem Hof anlegen. Er wählt einen Radius von 5 Metern für den Garten. Wie groß wird die Fläche des runden Gartens sein? Kann er nun planen, wie viele Blumen und Gemüsebeete er darin unterbringen kann?
c) Teichvolumen berechnen
In einem Park gibt es einen runden Teich mit einem Radius von 8 Metern. Die Parkverwaltung möchte das Teichvolumen bestimmen, um die Wasserqualität zu überwachen. Berechne die Fläche der Wasseroberfläche im Teich.
d) Malen eines Kreislogos
Eine Schulgruppe möchte ein Logo auf den Boden des Schulhofs malen. Das Logo soll ein Kreis mit einem Radius von 4 Metern sein. Wie viel Farbe wird benötigt, um die Fläche des Kreislogos zu malen? Die Farbdose gibt an, dass sie 2 Quadratmeter pro Liter abdeckt. Wie viele Liter Farbe werden benötigt?
Aufgabe 4: Die Pizzaauswahl
Du und deine Freunde haben großen Appetit auf Pizza und möchten eine Bestellung beim örtlichen Pizzadienst aufgeben. Der Pizzadienst bietet drei verschiedene Salamipizzen an:
- Eine Pizza mit einem Durchmesser von 26 cm für 9,00 €.
- Eine Pizza mit einem Durchmesser von 32 cm für 11,00 €.
- Eine Familienpizza mit den Maßen 40 cm x 60 cm für 25,00 €.
Aufgabe:
-
Überlege, welche Pizza die beste Wahl für euch sein könnte, basierend auf dem Preis und der Menge an Pizza, die ihr essen möchtet.
-
Berechne den Flächeninhalt (die Größe) jeder der drei Pizzen. Beachte dabei, dass die Familienpizza nicht rund ist, sondern rechteckig.
-
Vergleiche den Preis pro Quadratzentimeter (€/cm²) für jede Pizza. Welche Pizza bietet den besten Wert?
-
Welche Pizza würdest du empfehlen, basierend auf dem Flächeninhalt und dem Preis? Begründe deine Wahl.
Abschluss
-
Schaut euch die beiden Bilder der Teller erneut an.
-
Überlegt, welcher Teller mehr Platz für das Grillgut bietet, indem ihr den Flächeninhalt berechnet. Verwendet die Formel \[A=π\cdot r^2\] für den runden Teller (wenn der Durchmesser bekannt ist) und die Formel \[A = a \cdot b\] für den rechteckigen Teller.
-
Begründet eure Wahl basierend auf den berechneten Flächeninhalten der Teller. Welcher Teller bietet mehr Platz für das Grillgut?