Einführung in lineare Gleichungssysteme
Einstieg
Auf dem Bauernhof der Familie Huber gibt es Schafe und Hühner. Herr Huber geht eines Mittags über den Hof und zählt 20 Tiere und 64 Beine.
Wie viele Schafe gibt es derzeit auf dem Bauernhof?
Jedes Tier hat mindestens zwei Beine. Bei 20 Tieren sind das bereits:
20 · 2 = 40
Von den 64 Beinen bleiben übrig:
64 − 40 = 24
Diese 24 zusätzlichen Beine gehören zu den Schafen. Ein Schaf hat zwei Beine mehr als ein Huhn.
24 : 2 = 12
Es gibt also 12 Schafe und 8 Hühner.
Wir verwenden die Variablen \(s\) für Schafe und \(h\) für Hühner.
Information 1: Es gibt 20 Tiere auf dem Hof, daher gilt:
\[I) \quad s + h = 20\]
Information 2: Insgesamt gibt es 64 Beine. Hühner haben bekanntlich 2 Beine und Schafe haben 4 Beine. Daher muss das Vierfache der Anzahl an Schafen die Anzahl der Schafsbeine sein \(4s\). Hühnerbeine entpspricht dem Doppelten der Anzahl der Hühner \(2h\).
\[II) \quad 4s + 2h = 64\]
Jetzt setzen verändern wir noch die zweite Gleichung und verwenden die Information der ersten Gleichung:
\[\begin{align*}4s + 2h &= 64 \\s + s + s + s + h + h &= 64\\ \\ s + h + s + h + s + s &= 64\\ (s+h)+(s+h)+s+s &= 64\\ \\20 + 20 + s + s &= 64&&|-40\\2s &= 24&&|:2\\s &= 12\end{align*}\]
Daher folgt unmittelbar, da es 20 Tiere gibt: \(h = 8\)
Es gibt 12 Schafe und 8 Hühner auf dem Bauernhof.
\[h = 8 \quad \quad s = 12\]
Einsetzen in \(I)\):
\[\begin{align*}s + h &= 20\\12 + 8 &= 20\\20 &= 20 \quad \checkmark\end{align*}\]
Einsetzen in \(II)\):
\[\begin{align*}4s + 2h &= 64\\4\cdot 12 + 2\cdot 8 &= 64\\48+16 &= 64\\64 &= 64 \quad \checkmark\end{align*}\]
Am Ende dieses Lernpfades solltest du erklären können, was ein lineares Gleichungssystem ist und wie man rechnerisch überprüft, ob ein Zahlenpaar eine Lösung ist.
Dazu brauchst du zwei wichtige Fähigkeiten:
- Lagebeziehung von zwei Geraden
Du solltest beschreiben können, wie zwei Geraden zueinander liegen können: Sie können sich schneiden, parallel sein oder genau aufeinanderliegen. - Punktprobe durchführen
Du solltest überprüfen können, ob ein Zahlenpaar eine Gleichung erfüllt. Dazu setzt du die Werte für die Variablen in die Gleichung ein und prüfst, ob eine wahre Aussage entsteht.
Definition: Lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Ziel ist es, Werte für die Variablen zu finden, die alle Gleichungen des Systems erfüllen. Es gibt verschiedene Lösungsverfahren, um LGS zu lösen. Ein LGS kann eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung haben.
Beispiel:
\[\begin{align*}I)&&2x + 3y &= 7\\II)&&4x - y &= 7\end{align*}\]
Ein lineares Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn es genau eine gemeinsame Lösung gibt. Bei zwei Variablen bedeutet das: Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
- Sind weniger Gleichungen als Variablen vorhanden, ist das System unterbestimmt.
- Sind mehr Gleichungen als Variablen vorhanden, spricht man von einem überbestimmten System.
Entscheidend ist immer, ob alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt werden können.