Additions- und Subtraktionsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Balkenwaage - Gleichungen addieren
Gib zwei lineare Gleichungen ein. Es werden zwei Balkenwaagen für die beiden Gleichungen und eine dritte Balkenwaage für die Summe beider Gleichungen dargestellt.
Eingabe
Am Ende dieses Lernpfades solltest du erklären können, wie man ein lineares Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren oder Subtraktionsverfahren löst.
Dazu brauchst du zwei wichtige Fähigkeiten:
- Gleichungen vervielfachen
Du solltest eine ganze Gleichung mit einer Zahl multiplizieren können, damit bei beiden Gleichungen passende Koeffizienten entstehen. - Gleichungen addieren oder subtrahieren
Du solltest zwei Gleichungen so addieren oder subtrahieren können, dass eine Variable wegfällt.
Das Additionsverfahren/ Subtraktionsverfahren
Definition: Additions- und Subtraktionsverfahren für lineare Gleichungssysteme
1. Gleichungen notieren
Beide Gleichungen übersichtlich aufschreiben.
2. Koeffizienten anpassen
Eine oder beide Gleichungen passend vervielfachen.
3. Addieren oder subtrahieren
Eine Variable beseitigen.
4. Erste Variable berechnen
Die entstandene Gleichung lösen.
5. Zweite Variable berechnen
Den berechneten Wert einsetzen.
6. Probe und Lösung
Probe durchführen und die Lösung angeben.
Hinweis: Achte auf den Koeffizienten der Variable, die wegfallen soll.
- Haben beide Koeffizienten denselben Wert mit demselben Vorzeichen, dann werden die Gleichungen subtrahiert.
- Haben beide Koeffizienten denselben Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen, dann werden die Gleichungen addiert.
Beispiel: Bei \(3x\) und \(3x\) wird subtrahiert. Bei \(3x\) und \(-3x\) wird addiert.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Wende das Additionsverfahren oder Subtraktionsverfahren an, um das LGS zu lösen.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 3y = 10\\II)& 2x - y = 2 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 6y = 8\\II)& -2x - 3y = 4 \end{array}\right|\) |
| b) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 4y = 8\\II)& -3x + 4y = 3 \end{array}\right|\) | g) \(\left|\begin{array}{lc}I)& -2x + 2y = -14\\II)& 2x - y = 8 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 4x + 3y = 15\\II)& 4x + y = 7 \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 8x + 3y = 24\\II)& -8x - 4y = 16 \end{array}\right|\) |
| d) \(\left|\begin{array}{lc}I)& x + 4y = 11\\II)& x + 2y = 5 \end{array}\right|\) | i) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3x + 2y = 27\\II)& -3x - y = 18 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6x + 5y = 21\\II)& 6x + y = 9 \end{array}\right|\) | j) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 4y = 40\\II)& -2x + 2y = 26 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((2|2)\) | \((1|1,5)\) | \((0,75|4)\) | \((-1|3)\) | \((1|3)\) |
| \((-8|4)\) | \((1|-6)\) | \((18|-40)\) | \((-21|45)\) | \((-2|11)\) |
Aufgabe 2: Manipuliere zunächst eine oder beide Gleichungen und wende dann das Additionsverfahren an.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3x + 4y = 5\\II)& x - 2y = 5 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 5x + 6y = 26\\II)& 2x - 3y = 5 \end{array}\right|\) |
| b) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 5x + 2y = 12\\II)& 3x - 2y = 8 \end{array}\right|\) | g) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 7x + 4y = 26\\II)& 4x - 2y = 2 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + y = 3\\II)& 4x - 3y = 11 \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)& -3x + 2y = 2\\II)& 6x - 3y = 3 \end{array}\right|\) |
| d) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6x + 3y = -3\\II)& -2x - 4y = 10 \end{array}\right|\) | i) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6x + 5y = 21\\II)& 4x - 5y = 9 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 4x + 5y = 4\\II)& 3x - 10y = 3 \end{array}\right|\) | j) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 4y = 14\\II)& 7x - 2y = 17 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((3|-1)\) | \((2,5|-0,25)\) | \((2|-1)\) | \((1|-3)\) | \((1|0)\) |
| \((4|1)\) | \((2|3)\) | \((4|7)\) | \((3|0,6)\) | \((3|2)\) |
Aufgabe 3 ( ): Forme zunächst um, um dann das linneare Gleichungssystem zu lösen.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x = 10 - 3y\\II)& -y = -2x + 4 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2(x + 3y) = 2(8 - y)\\II)& 2x = 5 + 3y \end{array}\right|\) |
| b) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 4y + 2x - 12 = 0\\II)& 3 - 4y = 3x \end{array}\right|\) | g) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2y = 7(2 - x)\\II)& 7x - y = 2 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3(3 - y) = 2x\\II)& 6x - y = 4 \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 4x = 6 - 2y\\II)& 8x + 2y = 3 \end{array}\right|\) |
| d) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3x = 11 - 4y\\II)& -2y = 5 - 3x \end{array}\right|\) | i) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2y - 3x = 5\\II)& x - y = 6 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6x = -5y + 20\\II)& y = 6 \cdot (2 - x) \end{array}\right|\) | j) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 3y = 5\\II)& 4x + 6y = 11 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) |
| \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) |
Aufgabe 4: Verwende zwei verschiedene Lösungsalgorithmen und vergleiche den Rechenaufwand.
a) Zwei Zahlen: Tim hat zwei Zahlen. Wenn er zur ersten Zahl 3 addiert und von der zweiten Zahl 5 subtrahiert, erhält er insgesamt 10. Wenn er zur zweiten Zahl 4 addiert und von der ersten Zahl 2 subtrahiert, ergibt sich 12. Was sind die beiden Zahlen?
b) Die Altersfrage: Vater und Sohn haben zusammen 36 Jahre. Der Vater ist doppelt so alt wie der Sohn. Wie alt ist jeder von ihnen?
c) Der Obststand: Ein Obststand verkauft Äpfel und Bananen. Für 6 Äpfel und 4 Bananen zahlt man 8 Euro, während 3 Äpfel und 5 Bananen 5 Euro kosten. Wie viel kostet jeder Apfel und jede Banane einzeln?
Aufgabe 5: Bringe die Gleichungen in die Form \(ax + by = c\) und löse dann mit dem Additionsverfahren.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3x - 7 = 2y + 4\\II)& -5 + y = x - 3 \end{array}\right|\) | b) \(\left|\begin{array}{lc}I)& x + 3 = 4y - 1\\II)& 12y + 5 = 5x + 1 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6 - y = -x + 3\\II)& 4x - 4 = y +5 \end{array}\right|\) | d) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2(x + 3) = y -3\\II)& y - 5 = -4x - 8 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& y + 1 = 4x + 6\\II)& 3x - 7 = 2y -2 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 7x + 2 = -5y + 5\\II)& y + 6 = x - 3 \end{array}\right|\) |
| g) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2y + 4 = 6 - 5x\\II)& x + 3 = 0.2(y - 1) \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)& y - 8 = -3(-3x + 2)\\II)& 4x - 1 = y + 2 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((15|17)\) | \((8|3)\) | \((4|7)\) | \((-2|5)\) |
| \((-3|-7)\) | \((4|-5)\) | \((-2|6)\) | \((-1|-7)\) |