Zehnerpotenzen und die wissenschaftliche Schreibweise von Zahlen
Einstieg
Sehr große Zahlen sind schwer zu lesen, zu schreiben und miteinander zu vergleichen. Das sieht man besonders gut an folgendem Beispiel:
Stell dir vor, du möchtest abschätzen, aus wie vielen Atomen die Erde besteht. Die Erde hat ungefähr die Masse \[6.000.000.000.000.000.000.000.000 \ \] Kilogramm.
In einem Kilogramm Materie befinden sich ungefähr \[10.000.000.000.000.000.000.000.000\] Atome.
Aufgabe E1:
a) Versuche, die erste Zahl laut vorzulesen.
b) Versuche, die zweite Zahl laut vorzulesen.
c) Erkläre, warum solche Zahlen unübersichtlich sind.
d) Schätze, wie groß das Ergebnis ungefähr wird, wenn man beide Zahlen miteinander multipliziert.
Aufgabe E2:
a) Überlege und formuliere, warum es schwierig sein könnte, mit solchen großen Zahlen zu arbeiten. Schreibe mindestens zwei Gründe auf.
- Tipp: Denk darüber nach, wie leicht oder schwer es ist, sich solche großen Zahlen vorzustellen oder mit ihnen zu rechnen.
b) Diskutiere mit deinem Nachbarn, warum eine andere Schreibweise für diese Art von Zahlen nützlich sein könnte.
Definition: Zehnerpotenzen
Zehnerpotenzen sind mathematische Ausdrücke, die große Zahlen im Dezimalsystem übersichtlich darstellen, indem die Basis 10 \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert wird.
Beispiele
- \(10^3=10 \cdot 10 \cdot 10=1000\)
- \(10^2=10 \cdot 10=100\)
- \(10^1=10\)
- \(10^0=1\) (Jede Zahl zur Potenz 0 ergibt 1)
Sie erleichtern in Wissenschaft und Alltag die Arbeit mit großen Zahlen, etwa bei Maßeinheiten und Distanzen.
| Präfix | Potenz | Zahlenschreibweise |
|---|---|---|
| Tera | \(10^{12}\) | 1.000.000.000.000 |
| Giga | \(10^9\) | 1.000.000.000 |
| Mega | \(10^6\) | 1.000.000 |
| \(10^5\) | 100.000 | |
| \(10^4\) | 10.000 | |
| Kilo | \(10^3\) | 1.000 |
| Hekto | \(10^2\) | 100 |
| Deka | \(10^1\) | 10 |
| \(10^0\) | 1 | |
| Dezi | \(10^{-1}\) | 0,1 |
| Zenti | \(10^{-2}\) | 0,01 |
| Milli | \(10^{-3}\) | 0,001 |
| Mikro | \(10^{-6}\) | 0,000001 |
| Nano | \(10^{-9}\) | 0,000000001 |
Aufgabe 1: Wandelt die folgenden Zahlen in die Zehnerpotenzsummenschreibweise um:
Beispiel: Für die Zahl \(3.024\) lautet die Zehnerpotenzsummenschreibweise:
| \[\begin{align*}3.024 &= 3.000 + 20 + 4 \\ &= 3\cdot 1.000 + 2\cdot 10 + 4 \cdot 1 \\ &= 3 \cdot 10^3+2 \cdot 10^1+4 \cdot 10^0\end{align*}\] |
| a) \(3.024 = \square\) | i) \(8.004 = \square\) |
| b) \(86.000.000 = \square\) | j) \(500.600 = \square\) |
| c) \(507 = \square\) | k) \(306 = \square\) |
| d) \(9.001 = \square\) | l) \(204.000 = \square\) |
| e) \(6.200.000 = \square\) | m) \(7.008 = \square\) |
| f) \(4.050 = \square\) | n) \(90.300 = \square\) |
| g) \(2.309 = \square\) | o) \(1.204 = \square\) |
| h) \(70.000 = \square\) |
| Potenz | Zahlenschreibweise | |
|---|---|---|
| \(10^{12}\) | 1.000.000.000.000 | |
| \(10^9\) | 1.000.000.000 | |
| \(10^6\) | 1.000.000 | |
| \(10^5\) | 100.000 | |
| \(10^4\) | 10.000 | |
| \(10^3\) | 1.000 | |
| \(10^2\) | 100 | |
| \(10^1\) | 10 | |
| \(10^0\) | 1 |
Aufgabe E3: In der Tabelle stehen die ungefähren Massen für verschiedene Himmelskörper.
a) Lies die Zahlen laut vor und versucht, sie korrekt auszusprechen.
b) Benenne die Schwierigkeiten, die dir beim Vorlesen oder Verstehen der Zahlen begegnen.
c) Überlege dir eine alternative Schreibweise für die Zahlen, die übersichtlicher und leichter erfassbar ist.
| Objekt | Masse (in kg, ungefähre Werte) |
|---|---|
| Mond | \(73.500.000.000.000.000.000.000\) |
| Erde | \(5.970.000.000.000.000.000.000.000\) |
| Jupiter | \(1.900.000.000.000.000.000.000.000.000\) |
| Sonne | \(1.990.000.000.000.000.000.000.000.000.000\) |
| Sonnensystem | \(1.990.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000\) |
Definition: Wissenschaftliche Schreibweise von sehr kleinen oder sehr großen Zahlen
Die wissenschaftliche Schreibweise ist eine Methode, um sehr große oder sehr kleine Zahlen kompakt darzustellen. Sie besteht aus dem Produkt einer Dezimalzahl \(d\) und einer Zehnerpotenz \(10^z\).
\[\Large d \cdot 10^z\]
Für die Dezimalzahl \(d\) gilt immer: \[1 \leq d < 10\]
Die Zehnerpotenz gibt an, um wie viele Stellen das Komma der Dezimalzahl verschoben wird, um die ursprüngliche Zahl zu erhalten.
Beispiel
| Normale Zahl | Komma verschieben | Wissenschaftliche Schreibweise |
| \(320.000\) | 5 Stellen nach links | \(3{,}2 \cdot 10^5\) |
| \(92.300.000\) | 7 Stellen nach links | \(9{,}23 \cdot 10^7\) |
| \(0{,}00014\) | 4 Stellen nach rechts | \(1{,}4 \cdot 10^{-4}\) |
| \(0{,}000000000023\) | 11 Stellen nach rechts | \(2{,}3 \cdot 10^{-11}\) |
Beispiel
| Wissenschaftliche Schreibweise | Komma verschieben | Normale Zahl |
| \(3{,}2 \cdot 10^5\) | 5 Stellen nach rechts | \(320.000\) |
| \(9{,}23 \cdot 10^7\) | 7 Stellen nach rechts | \(92.300.000\) |
| \(1{,}4 \cdot 10^{-4}\) | 4 Stellen nach links | \(0{,}00014\) |
| \(2{,}3 \cdot 10^{-11}\) | 11 Stellen nach links | \(0{,}000000000023\) |
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Schreibe in wissenschaftlicher Notation.
| a) \(45.000\) | g) \(1.300.000\) |
| b) \(8.200.000\) | h) \(12.000.000\) |
| c) \(3.500.000\) | i) \(750.000\) |
| d) \(67.000\) | j) \(5.000.000\) |
| e) \(980.000.000\) | k) \(240.000\) |
| f) \(25.000\) | l) \(9.600.000\) |
Aufgabe 2: Schreibe in wissenschaftlicher Notation. Achte auf den negativen Exponenten!
| a) \(0,0045\) | g) \(0,000012\) |
| b) \(0,00067\) | h) \(0,000000034\) |
| c) \(0,000082\) | i) \(0,000075\) |
| d) \(0,00000054\) | j) \(0,00000089\) |
| e) \(0,0098\) | k) \(0,0000000065\) |
| f) \(0,000000230\) | l) \(0,0023\) |
Aufgabe 3: Verwende die wissenschaftliche Notation für große Zahlen. Achte darauf, dass der Exponent bei großen Zahlen immer positiv ist.
a) Der Abstand von der Erde zur Sonne beträgt etwa \(149.600.000 \ km\). Schreibe diesen Abstand in wissenschaftlicher Notation.
b) Die Masse der Sonne beträgt etwa \(1.989.000.000.000.000.000.000.000.000.000 \ kg\). Schreibe diese Masse in wissenschaftlicher Notation.
c) Der Durchmesser der Milchstraße wird auf etwa \(950.000.000.000.000.000.000 \ km\) geschätzt. Schreibe diese Entfernung in wissenschaftlicher Notation.
d) Ein Lichtjahr ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt, etwa \(9.460.000.000.000 \ km\). Schreibe diese Entfernung in wissenschaftlicher Notation.
e) Die Anzahl der Sterne in der Milchstraße wird auf etwa \(100.000.000.000\) geschätzt. Schreibe diese Zahl in wissenschaftlicher Notation.
f) Die Gesamtmasse der Erde beträgt etwa \(5.972.000.000.000.000.000.000.000 \ kg\). Schreibe diese Masse in wissenschaftlicher Notation.
Aufgabe 4: Verwende die wissenschaftliche Schreibweise für kleine Zahlen. Achte auf den negativen Exponenten.
a) Der Radius eines Wasserstoffatoms beträgt etwa \(0,000 000 000 053 \ m\). Schreibe diesen Radius in wissenschaftlicher Notation.
b) Die Masse eines Elektrons beträgt etwa \(0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 9 \ kg\). Schreibe diese Masse in wissenschaftlicher Notation.
c) Die Wellenlänge von sichtbarem Licht liegt bei etwa \(0,000 000 55 \ m\). Schreibe diese Wellenlänge in wissenschaftlicher Notation.
d) Die Planck-Länge, die kleinste bedeutende Länge in der Physik, beträgt etwa \(0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 616 \ m\). Schreibe diese Länge in wissenschaftlicher Notation.
e) Die Halbwertszeit eines bestimmten radioaktiven Isotops beträgt \(0,000 000 000 012 3\) Sekunden. Schreibe diese Zeit in wissenschaftlicher Notation.
f) Der Durchmesser eines Kohlenstoffatoms beträgt etwa \(0,000 000 000 154 \ m\). Schreibe diesen Durchmesser in wissenschaftlicher Notation.