Rationale Zahlen - Irrationale Zahlen
Einstieg
Aufgabe E1: Zeige für alle angegebenen Wurzeln, dass es sich um rationale Zahlen handelt, indem du eine geeignete Bruchdarstellung \(\frac{a}{b}\) findest, um die Zahl darzustellen
| Beispiel: \[\Large \sqrt{49} = 7 = \frac{14}{2}\] |
a) \(\sqrt{81}\) b) \(\sqrt{121}\) | c) \(\sqrt{225}\) d) \(\sqrt{400}\) | e) \(\sqrt{1}\) f) \(\sqrt{196}\) |
Definition: Rationale Zahlen \(\quad \quad \mathbb{Q}\)
Rationale Zahlen \(q \in \mathbb{Q}\) sind Zahlen, die als Bruch aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können, wobei der Nenner ungleich null ist.
\[q = \frac{a}{b} \quad, a \in \mathbb{Z} \quad, b \in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}\]
Hinweis:
Rationale Zahlen umfassen daher
| alle natürlichen Zahlen | \(0, 1, 2, 3, \ldots\) |
| alle ganzen Zahlen | \(\ldots, -4, -3, -2, -1, \ldots\) |
| alle abbrechenden Dezimalbrüche | \(0,1; 0,11; 0,2; \ldots\) |
| alle periodischen Dezimalbrüche | \(0,\overline{3}; 0,\overline{1}; 0,\overline{12}; \ldots\) |
Warum sind einige Wurzeln keine Rationale Zahlen?
Gibt es eine Bruchdarstellung \(\frac{a}{b}\) für \(\sqrt{2}\)?
Hinweis: Es gibt eine Beweismöglichkeit in der Mathematik, bei der man als Annahme das Gegenteil von dem wählt, was man zeigen möchte. Dann zeigt man schrittweise, dass diese Annahme zu einem Widerspruch bzw. völligem Quatsch führt. Dadurch hat man gezeigt, dass das Gegenteil der Annahme gelten muss.
Wir nehmen an, \(\sqrt{2}\) ist eine Rationale Zahl.
Wenn \(\sqrt{2}\) eine Rationale Zahl ist, dann kann man sie auch als Bruch darstellen:
\[\sqrt{2} = \frac{a}{b}\]
Die Zahlen \(a\) und \(b\) werden so gewählt, dass man den Bruch nicht weiter kürzen kann.
Wir lösen die Wurzel auf, indem wir beide Seiten der Gleichung quadrieren
\[2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}\]
Löse anschließend noch den Bruch auf.
\[\begin{align*}2 &= \frac{a^2}{b^2}&&|\cdot b^2\\ \\2b^2 &= a^2\end{align*}\]
| \(a^2\) muss also eine gerade Zahl sein! => \(a\) muss eine gerade Zahl sein! |
Wenn \(a\) durch 2 teilbar ist, dann gilt \[a = 2c\]
Es folgt:
\[\begin{align*}2b^2 &= a^2&&|\text{Ersetze }a = 2c\\2b^2 &= (2c)^2\\2b^2 &= 4c^2&&|:2\\b^2 &= 2c^2\end{align*}\]
| \(b^2\) muss also eine gerade Zahl sein! => \(b\) muss eine gerade Zahl sein! |
Die Annahme war: \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), mit \(a\) und \(b\) so gewählt, dass man den Bruch nicht weiter kürzen kann.
Wir haben aber gezeigt, dass \(a\) und \(b\) durch 2 teilbar waren. Damit lässt sich der Bruch \[\sqrt{2} = \frac{a}{b}\] mit der Zahl 2 kürzen und das widerspricht der Annahme, dass \(a\) und \(b\) nicht weiter gekürzt werden können.
Definition: Irrationale Zahlen \(\quad \quad \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können. Sie haben unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellungen.
Zu den irrationalen Zahlen gehören
- Wurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahlen sind \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots\)
- Zahlen, die keine exakten Brüche ergeben (Zahlen wie \(\pi\) und \(e\)).
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Bestimme jeweils, ob es sich um eine Rationale Zahl (\(\in \mathbb{Q}\)) oder eine irrationale Zahl (\(\not\in \mathbb{Q}\)) handelt.
a) \(\frac{5}{2}\) b) \(\sqrt{3}\) c) \(0.75\) d) \(3.14159\ldots\) e) \(-\frac{7}{4}\) f) \(\sqrt{49}\) g) \(1.414213\ldots\) | h) \(\frac{8}{3}\) i) \(2.71828\ldots\) j) \(0.333\ldots\) k) \(\frac{1}{5}\) l) \(\sqrt{12}\) m) \(-\frac{9}{2}\) n) \(0.625\) | o) \(\sqrt{25}\) p) \(5.678\ldots\) q) \(-\frac{11}{3}\) r) \(\sqrt{2}\) s) \(1.010010001\ldots\) t) \(\frac{6}{7}\)
|
Aufgabe 2: Wandle als Dezimalbruch und in Prozent um.
a) \(\frac{2}{5}\) b) \(\frac{7}{8}\) c) \(\frac{1}{3}\) d) \(\frac{9}{4}\) e) \(\frac{5}{6}\)
| f) \(\frac{2}{11}\) g) \(\frac{7}{9}\) h) \(\frac{1}{2}\) i) \(\frac{4}{7}\) j) \(\frac{3}{10}\) | k) \(\frac{8}{5}\) l) \(\frac{1}{16}\) m) \(\frac{6}{13}\) n) \(\frac{3}{8}\) o) \(\frac{10}{3}\) |
Aufgabe 3: Schreibe als Gleichung (falls ein exakter Wert existiert) oder als Ungleichung mit Rationalen Zahlen.
Beispiel:
Rationale Zahl: \[\sqrt{121} = 11\] | Irrationale Zahl: \[11 < \sqrt{136}< 12\] |
a) \(\sqrt{4}\) b) \(\sqrt{10}\) c) \(\sqrt{36}\) d) \(\sqrt{18}\) e) \(\sqrt{49}\) | f) \(\sqrt{3}\) g) \(\sqrt{25}\) h) \(\sqrt{2}\) i) \(\sqrt{81}\) j) \(\sqrt{7}\) | k) \(\sqrt{64}\) l) \(\sqrt{5}\) m) \(\sqrt{16}\) n) \(\sqrt{12}\) o) \(\sqrt{1}\) |
Aufgabe 4: Entscheide für jede Aussage, ob sie wahr oder falsch ist. Gib bei jeder falschen Aussage ein Gegenbeispiel an!
| 1. Eine Zahl mit periodischer Dezimaldarstellung ist rational. | 2. Eine Zahl mit endlicher Dezimaldarstellung ist irrational. |
| 3. Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ist rational. | 4. \(\pi\) ist eine irrationale Zahl. |
| 5. Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl. | 6. Eine Zahl, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann, ist rational. |
| 7. Die Summe zweier rationaler Zahlen ist immer rational. | 8. \(\sqrt{2}\) ist eine rationale Zahl. |
| 9. Die Division zweier ganzer Zahlen ergibt eine rationale Zahl, sofern nicht durch \(0\) geteilt wird. | 10. Eine Zahl mit unendlicher nicht-periodischer Dezimaldarstellung ist irrational. |
| 11. Alle natürlichen Zahlen sind rationale Zahlen. | 12. Die Summe oder Differenz zweier irrationaler Zahlen ist immer irrational. |
| 13. Jede Zahl, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann, ist rational. | 14. \(\sqrt{16}\) ist eine irrationale Zahl. |
| 15. Es gibt negative irrationale Zahlen. |
Aufgabe 5: Verwende die Ziffer \(2\) genau dreimal. Setze Rechenzeichen, Klammern und mathematische Operationen so ein, dass die Gleichungen stimmen.
Du darfst zum Beispiel \(+\), \(-\), \(\cdot\), \(:\), Potenzen und Wurzeln verwenden. Außerdem darfst du vorhandene Zweien zusammensetzen, also zum Beispiel aus \(2\) und \(2\) die Zahl \(22\) bilden.
Wichtig: Es dürfen keine anderen Ziffern verwendet werden. Die Ziffer \(2\) muss in jeder Gleichung genau dreimal vorkommen.
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 1\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 11\) |
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 2\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 12\) |
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 3\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 13\) |
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 4\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 14\) |
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 5\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 15\) |
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 6\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 16\) |
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 7\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 17\) |
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 8\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 18\) |
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 9\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 19\) |
| \(2 \quad 2 \quad 2 = 10\) | \(2 \quad 2 \quad 2 = 20\) |
Definition: Reelle Zahlen \(\quad \quad \mathbb{R}\)
Reelle Zahlen \(\mathbb{R}\) umfassen alle rationalen und irrationalen Zahlen, also alle Zahlen, die auf der Zahlengeraden liegen. Zu den reellen Zahlen gehören sowohl positive als auch negative Zahlen sowie die Null.
Beispiele:
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Ergänzung - Mathefehler (Math Error)
| Teilen durch 0 | Quadratwurzel aus negativen Zahlen |
|---|---|
| Nicht möglich! | In den reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) nicht möglich. |