Quadratische Funktionen
Definition: Quadratische Funktion
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, bei der der höchste Exponent der Variablen \(x\) als \(x^2\) auftaucht. Man spricht davon, dass der Grad der Funktion 2 ist.
Der Graph dieser Funktion ist immer eine Parabel.
Beispiele:
| quadratische Funktionen | keine quadratischen Funktionen |
\(x^2\) \(x^2 + 3x + 1\) \((x+3)(x-1)\) | \(2^x\) \(x^3\) \(\frac{1}{x^2}\) |
zukünftig benötigtes Werkzeug: Parabelschablone
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Entscheide, welche der folgenden Graphen
(a) Funktionen sind
(b) lineare Funktionen sind
(c) quadratsiche Funktionen sind
Aufgabe 4: Übertrage die Wertetabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Funktionswerte. Übertrage die Zahlenpaare anschließend in ein geeignetes Koordinatensystem (1 Einheit entspricht 1 cm) und verbinde mithilfe deiner Parabelschablone.
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(f(x) = x^2+2x+1\) |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(g(x) = x^2-3x+2\) |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(h(x) = x^2+x-6\) |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(i(x) = x^2-4x+3\) |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(j(x) = x^2+3x+2\) |
Einfluss der Parameter auf die Funktion
Aufgabe 5: Einfluss von \( c \) untersuchen.
a) Stelle die Webapp auf die Funktion \( f(x) = x^2 + c \) ein, wobei \( a = 1 \) und \( b = 0 \) sind.
b) Verändere den Parameter \( c \) schrittweise von -5 bis +5 und beobachte, wie sich die Parabel im Koordinatensystem bewegt.
c) Zeichne den Verlauf der Parabeln für mindestens drei verschiedene Werte von \( c \) (z.B. \( c = -3 \), \( c = 0 \), \( c = 3 \)) in dein Heft und beschreibe die Veränderungen.
Aufgabe 6: Einfluss von \( b \) untersuchen
a) Stelle die Webapp auf die Funktion \( f(x) = x^2 + bx \) ein, wobei \( a = 1 \) und \( c = 0 \) sind.
b) Verändere den Parameter \( b \) schrittweise von -5 bis +5 und beobachte, wie sich die Parabel verschiebt.
c) Zeichne den Verlauf der Parabeln für mindestens drei verschiedene Werte von \( b \) (z.B. \( b = -2 \), \( b = 0 \), \( b = 4 \)) in dein Heft und beschreibe die Verschiebungen.
Aufgabe 7: Einfluss von \( a \) (positiv oder negativ) untersuchen
a) Stelle die Webapp auf die Funktion \( f(x) = ax^2 \) ein, wobei \( b = 0 \) und \( c = 0 \) sind.
b) Wechsle zwischen \( a = 1 \) und \( a = -1 \) und beobachte die Veränderung der Parabel.
c) Beschreibe die Form und Ausrichtung der Parabel für beide Fälle in deinem Heft.
Aufgabe 8: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
quadratische Gleichung (allgemeine Form)
Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet
\[f(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c\]
oder
\[y= a\cdot x^2 + b \cdot x + c\]
Aufgabe 9: Ergänze deine Notizen um die Informationen aus den Merkkästen oder übertrage die Merkkästen in dein Heft.
Einfluss des Parameters \(a\)
Der Parameter \(a\) bestimmt die Öffnung und Richtung der Parabel.
| bei \(a < 0\) öffnet sie sich nach oben | bei \(a < 0\) öffnet sie sich nach unten |
Einfluss des Parameters \(b\)
Der Parameter \(b\) verschiebt den Scheitelpunkt schräg und verändert die y-Lage in Richtung zum Scheitelpunkt, also gegen die Öffnung der Parabel.
Einfluss des Parameters \(c\)
Der Parameter \(c\) bestimmt den y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse) des Graphen.
| bei \(c<0\) verschiebt sich die Parabel nach unten | bei \(c>0\) verschiebt sich die Parabel nach oben |