Satz vom Nullprodukt
Definition: Satz von Vieta
Für eine quadratische Funktion in der Form \(x^2 + bx + c\) mit den Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) gilt immer
| \(x_1 + x_2 = -b\) | \(x_1 \cdot x_2 = c\) |
Aufgabe 1: Übertrage den Merkkasten und die Anwendung in dein Heft.
Anwendung: \(x^2-x-42 = 0\)
1) Finde alle Zahlen, deren Produkt \(q\) ergeben: \[\begin{align*}1 \cdot (-42) &= -42\\2 \cdot (-21) &= -42\\3 \cdot (-14) &= -42\\6 \cdot (-7) &= -42\\7 \cdot (-6) &= -42\\14 \cdot (-3) &= -42\\21 \cdot (-2) &= -42\\42 \cdot (-1) &= -42\end{align*}\] | 2) Finde die Summe der beiden Zahlen, die \(-p\) ergibt. \[\begin{align*}1 + (-42) &= -41\\2 + (-21) &= -19\\3+ (-14) &= -11\\ 6 + (-7) &= -1\\\color{red}{7 + (-6)} &= \color{red}{1}\\14 + (-3) &= 11\\21 + (-2) &= 19\\42 + (-1) &= 41\end{align*}\] |
\[\Huge\mathbb{L} = \left\{-6; \ 7\right\}\]
Aufgabe 2: Berechne die Nullstellen mithilfe des Satzes von Vieta.
| a) \(f(x) = x^2 -4x -5\) |
| b) \(f(x) = x^2 +11x + 30\) |
| c) \(f(x) = x^2 -3x -10 \) |
| d) \(f(x) = x^2 + 12x + 35\) |
| e) \(f(x) = x^2 - 6x -7 \) |
| f) \(f(x) = x^2 + 13x + 36 \) |
| g) \(f(x) = x^2 -14 x + 49\) |
| h) \(f(x) = x^2 + 5x - 14\) |
| i) \(f(x) = x^2 - 7x -30 \) |
| j) \(f(x) = x^2 + 14x + 45\) |
Hinweis / Ergänzung
Der Satz von Vieta ist besonders hilfreich, wenn die Nullstellen ganze Zahlen sind – was im schulischen Kontext in der Regel der Fall ist.
Lassen sich keine ganzzahligen Nullstellen finden, sollte stattdessen auf die p-q-Formel zurückgegriffen werden, da sie in solchen Fällen exakte Lösungen liefert.
Definition: Satz vom Nullprodukt
Wenn das Produkt zweier Terme null ist, dann ist mindestens einer der Faktoren null.
Anwendung: \(x^2 - x - 42 = 0\)
Wenn \(x_1\) und \(x_2\) die Nullstellen der Funktion \(f(x)\) sind, dann gilt:
\(f(x) = (x-x_1) \cdot (x - x_2)\)
Am konkreten Beispiel bedeutet das:
\[f(x) = x^2 - x - 42\], daher gilt auch \[f(x) = (x+6)(x-7)\]
Aufgabe 3: Durch ausprobieren hat Kevin herausgefunden, dass \(x = 5\) eine Lösung der Gleichung \((x−5)\cdot (x−7)=0\) ist.
a) Begründe, dass auch \(7\) eine Lösung dieser Gleichung ist.
b) Gib zu jeder Gleichung die Lösungsmenge an und mache jeweils die Probe für alle Lösungen.
I) \((x−2)(x−9)=0\)
II) \((x−13)(x−4)=0\)
III) \((x+1)(x+5)=0\)
Aufgabe 4: Bestimme die Nullstellen der Funktionen.
a) \(f(x) = (x−3)(x−12)\)
b) \(f(x) = (x+1)(x+9)\)
c) \(f(x) = (x+11)(x−2)\)
d) \(f(x) = (x−12)(x−4)\)
e) \(f(x) = (x−7)(x+13)\)
f) \(f(x) = (x−20)(x+20)\)
Aufgabe 5: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Definition: Linearfaktorzerlegung
Linearfaktorzerlegung bedeutet, eine ganzrationale Funktion in ein Produkt aus Linearfaktoren der Form \((x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)\) zu schreiben.
Dabei entsprechen die Linearfaktoren den Nullstellen der Funktion.
Aufgabe 6: Schreibe die Gleichungen und die Lösungsmenge vollständig ins Heft. Bringe die Gleichung anschließend in die allgemeine Form \(x^2 + bx + c\)
a) \((x−\square)(x−\square)=0\quad \mathbb{L}=\left\{6,7\right\}\)
b) \((x−\square)(x+\square)=0\quad \mathbb{L}=\left\{−2,3\right\}\)
c) \((x+\square)(x−11)=0\quad \mathbb{L}=\left\{−5,\square\right\}\)
d) \((x−\square)(x−1)=0\quad \mathbb{L}=\left\{\square,9\right\}\)
e) \(x(x+\square)=0\quad \mathbb{L}=\left\{−7,\square\right\}\)
f) \((x−\square)(x−\square)=0\quad \mathbb{L}=\left\{2\right\}\)
Aufgabe 7: Gib jeweils eine quadratische Funktion an, die die angegebene Lösungsmenge hat. Notiere diese als Linearfaktorzerlegung und in allgemeiner Form.
| a) \(\mathbb{L}=\left\{8,14\right\}\) | d) \(\mathbb{L}=\left\{−7,−8\right\}\) |
| b) \(\mathbb{L}=\left\{−5,9\right\}\) | e) \(\mathbb{L}=\left\{−1,1\right\}\) |
| c) \(\mathbb{L}=\left\{0,16\right\}\) | f) \(\mathbb{L}=\left\{6\right\}\) |
Aufgabe 11: Bearbeite die Aufgaben von https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5c7614041509d870d4838bfd und hilf Mario, alle Münzen zu sammeln.