Nullstellen
Einstieg
Jonas spielt beim Sportunterricht einen hohen Pass zu seinem Mitspieler. Die Flugkurve des Balls lässt sich näherungsweise durch die Funktion
\[f(x) = -x^2 + 10x\]
beschreiben. Dabei ist \(x\) die horizontale Entfernung in Metern und \(f(x)\) die Höhe des Balls über dem Boden in Metern.
Aufgabe 1:
a) An welchen Stellen berührt der Ball den Boden? [Hinweis: Wo ist \(f(x) = 0\)?]
b) Wo stand Jonas beim Abspiel? Wo steht vermutlich sein Mitspieler?
Definition: Nullstellen
Die Nullstelle einer Funktion ist der x-Wert, bei dem der Graph die x-Achse schneidet.
Mathematisch löst man dafür die Gleichung \(f(x) = 0\).
Aufgabe 2:
a) Übertrage die Merkkästen in dein Heft.
b) Löse die Gleichung \(x^2-2x-3 = 0\), indem du quadratisch ergänzt und anschließend die Wurzel ziehst.
b) Löse die Gleichung \(x^2-2x+3 = 0\), indem du quadratisch ergänzt und anschließend die Wurzel ziehst.
Ergänzung: Anzahl der Nullstellen
Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) kann höchstens \(n\) Nullstellen haben.
Das bedeutet:
- Eine lineare Funktion (Grad 1) hat maximal eine Nullstelle
- Eine quadratische Funktion (Grad 2) hat maximal zwei Nulstellen
- Eine kubische Funktion (Grad 3) hat maximal drei Nullstellen
- …
Herleitung einer Lösungsformel
Aufgabe 3: Berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.
| p-q-Formel: \(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\) |
| a) \(f(x) = x^2 -5 x + 6\) | k) \(f(x) = x^2 + 4x - 21 \) |
| b) \(f(x) = x^2 -3x + 2\) | l) \(f(x) = x^2 - 8x + 16\) |
| c) \(f(x) = x^2 + x -6 \) | m) \(f(x) = x^2 +6 x + 9\) |
| d) \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) | n) \(f(x) = x^2 -9x + 20\) |
| e) \(f(x) = x^2 + 2x -15 \) | o) \(f(x) = x^2 -2x -15 \) |
| f) \(f(x) = x^2 - x - 12 \) | p) \(f(x) = x^2 + 7x + 10\) |
| g) \(f(x) = x^2 + 5x + 6\) | q) \(f(x) = x^2 - 10x +21 \) |
| h) \(f(x) = x^2 - x + 9\) | r) \(f(x) = x^2 + 9x + 14 \) |
| i) \(f(x) = x^2 + 3x -10 \) | s) \(f(x) = x^2 -11 x + 30\) |
| j) \(f(x) = x^2 - 7x + 10\) | t) \(f(x) = x^2 + 3x - 18\) |