Kosinus
Aufgabe 1: Nutze die Kosinusapp, um eine allgemeine Formel für den Kosinus zu erarbeiten.
a) Entwickle eine Formel, mit deren Hilfe man den Kosinus anhand der gegebenen Werte berechnen kann.
b) Formuliere die Formel möglichst allgemein mit den Begriffen des rechtwinkligen Dreiecks.
Definition: Kosinus im rechtwinkligen Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt der Kosinus eines Winkels α das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.
\[\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\]
oder kurz
\[\cos(\alpha) = \frac{\text{AK}}{\text{H}}\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe 2:
a) Berechne die fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck. Der Winkel \(\alpha\) ist gegeben. Skizziere jeweils das Dreieck.
b) Berechne die Länge der fehlenden Seite.
Verwende:
| \[ \cos(\alpha) \cdot \text{H}=\text{AK} \quad \text{oder} \quad \text{H}=\frac{\text{AK}}{\cos(\alpha)} \] |
| a) \(\alpha = 28^\circ\), \(H = 14 \ cm\) | k) \(\alpha = 42^\circ\), \(AK = 9 \ cm\) |
| b) \(\alpha = 36^\circ\), \(H = 18 \ cm\) | l) \(\alpha = 55^\circ\), \(AK = 7 \ cm\) |
| c) \(\alpha = 50^\circ\), \(H = 20 \ cm\) | m) \(\alpha = 31^\circ\), \(AK = 12 \ cm\) |
| d) \(\alpha = 18^\circ\), \(H = 25 \ cm\) | n) \(\alpha = 64^\circ\), \(AK = 6 \ cm\) |
| e) \(\alpha = 47^\circ\), \(H = 16 \ cm\) | o) \(\alpha = 23^\circ\), \(AK = 15 \ cm\) |
| f) \(\alpha = 62^\circ\), \(H = 22 \ cm\) | p) \(\alpha = 70^\circ\), \(AK = 5 \ cm\) |
| g) \(\alpha = 33^\circ\), \(H = 30 \ cm\) | q) \(\alpha = 39^\circ\), \(AK = 11 \ cm\) |
| h) \(\alpha = 75^\circ\), \(H = 12 \ cm\) | r) \(\alpha = 58^\circ\), \(AK = 8 \ cm\) |
| i) \(\alpha = 41^\circ\), \(H = 24 \ cm\) | s) \(\alpha = 26^\circ\), \(AK = 13 \ cm\) |
| j) \(\alpha = 57^\circ\), \(H = 28 \ cm\) | t) \(\alpha = 68^\circ\), \(AK = 10 \ cm\) |
Aufgabe 3:
a) Berechne den Winkel \(\alpha\) im rechtwinkligen Dreieck. Die Ankathete \(AK\) und die Hypotenuse \(H\) sind gegeben. Skizziere jeweils das Dreieck.
b) Berechne die Länge der fehlenden Seite.
Verwende:
| \[ \alpha=\cos^{-1}\left({\frac{\text{AK}}{\text{H}}}\right) \] |
| a) \(AK = 10 \ cm\), \(H = 20 \ cm\) | k) \(AK = 8 \ cm\), \(H = 13 \ cm\) |
| b) \(AK = 12 \ cm\), \(H = 15 \ cm\) | l) \(AK = 6 \ cm\), \(H = 17 \ cm\) |
| c) \(AK = 9 \ cm\), \(H = 18 \ cm\) | m) \(AK = 14 \ cm\), \(H = 22 \ cm\) |
| d) \(AK = 16 \ cm\), \(H = 25 \ cm\) | n) \(AK = 11 \ cm\), \(H = 19 \ cm\) |
| e) \(AK = 7 \ cm\), \(H = 14 \ cm\) | o) \(AK = 15 \ cm\), \(H = 26 \ cm\) |
| f) \(AK = 18 \ cm\), \(H = 30 \ cm\) | p) \(AK = 5 \ cm\), \(H = 12 \ cm\) |
| g) \(AK = 13 \ cm\), \(H = 21 \ cm\) | q) \(AK = 20 \ cm\), \(H = 24 \ cm\) |
| h) \(AK = 4 \ cm\), \(H = 10 \ cm\) | r) \(AK = 9 \ cm\), \(H = 16 \ cm\) |
| i) \(AK = 17 \ cm\), \(H = 28 \ cm\) | s) \(AK = 12 \ cm\), \(H = 20 \ cm\) |
| j) \(AK = 21 \ cm\), \(H = 29 \ cm\) | t) \(AK = 16 \ cm\), \(H = 27 \ cm\) |
MERKE:
Wenn du mit der Ankathete und der Hypotenuse arbeitest, verwendest du den Kosinus. \[ \cos(\alpha)=\frac{\text{AK}}{\text{H}} \]
Woher kommt der Name „Kosinus“?
Der Name Kosinus entstand deutlich später als der Name Sinus.
Sinus und Kosinus sind eng miteinander verbunden. In einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich die beiden spitzen Winkel immer zu 90 Grad. Solche Winkel nennt man Komplementärwinkel oder Ergänzungswinkel.
Für einen Winkel \(\alpha\) gilt:
\[\cos(\alpha)=\sin(90^\circ-\alpha)\]
Früher bezeichnete man den Kosinus eines Winkels im Lateinischen als sinus complementi. Das bedeutet:
Sinus des Ergänzungswinkels
Im Laufe der Zeit wurde dieser Ausdruck verkürzt. Aus complementi sinus beziehungsweise sinus complementi entstand die Bezeichnung co-sinus und schließlich das deutsche Wort Kosinus. Das „Ko-“ in Kosinus bedeutet hier also nicht „gemeinsam“. Es ist eine Verkürzung, die auf das lateinische Wort complementi zurückgeht.
Der Name erinnert deshalb bis heute an die enge Beziehung zwischen Sinus und Kosinus.