Kosinussatz - Sieht irgendwie nach Satz des Pythagoras aus
Definition: Kosinussatz
Erklärkasten: Kosinussatz
Der Kosinussatz kann verwendet werden, wenn man in einem Dreieck zwei Seiten und den dazwischenliegenden Winkel kennt.
Mit dem Kosinussatz kann man dann die Seite berechnen, die dem bekannten Winkel gegenüberliegt.
In jedem Dreieck gilt:
| Wenn \(b\), \(c\) und \(\alpha\) gegeben sind: | \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) \] |
| Wenn \(a\), \(c\) und \(\beta\) gegeben sind: | \[ b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta) \] |
| Wenn \(a\), \(b\) und \(\gamma\) gegeben sind: | \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma) \] |
Merke: Der Winkel in der Kosinusformel liegt immer zwischen den beiden Seiten, die in der Formel multipliziert werden.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 2:
Berechne die fehlende Seite des Dreiecks. Skizziere jeweils das Dreieck.
Der gegebene Winkel liegt immer zwischen den beiden bekannten Seiten. Die Seite gegenüber diesem Winkel wird berechnet.
Verwende:
| \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) \] \[ b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta) \] \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma) \] |
| a) \(b = 8 \ cm\), \(c = 11 \ cm\), \(\alpha = 42^\circ\) | i) \(b = 13 \ cm\), \(c = 17 \ cm\), \(\alpha = 68^\circ\) |
| b) \(a = 10 \ cm\), \(c = 7 \ cm\), \(\beta = 55^\circ\) | j) \(a = 18 \ cm\), \(c = 12 \ cm\), \(\beta = 74^\circ\) |
| c) \(a = 9 \ cm\), \(b = 14 \ cm\), \(\gamma = 36^\circ\) | k) \(a = 16 \ cm\), \(b = 21 \ cm\), \(\gamma = 48^\circ\) |
| d) \(b = 12 \ cm\), \(c = 15 \ cm\), \(\alpha = 70^\circ\) | l) \(b = 19 \ cm\), \(c = 10 \ cm\), \(\alpha = 105^\circ\) |
| e) \(a = 13 \ cm\), \(c = 9 \ cm\), \(\beta = 61^\circ\) | m) \(a = 22 \ cm\), \(c = 15 \ cm\), \(\beta = 93^\circ\) |
| f) \(a = 6 \ cm\), \(b = 10 \ cm\), \(\gamma = 80^\circ\) | n) \(a = 11 \ cm\), \(b = 18 \ cm\), \(\gamma = 118^\circ\) |
| g) \(b = 7 \ cm\), \(c = 13 \ cm\), \(\alpha = 28^\circ\) | o) \(b = 24 \ cm\), \(c = 16 \ cm\), \(\alpha = 57^\circ\) |
| h) \(a = 15 \ cm\), \(c = 20 \ cm\), \(\beta = 44^\circ\) | p) \(a = 26 \ cm\), \(b = 14 \ cm\), \(\gamma = 132^\circ\) |
Aufgabe 3:
Berechne die fehlenden Winkel des Dreiecks. Skizziere jeweils das Dreieck.
Es sind alle drei Seiten gegeben.
Verwende:
| \[ \cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \quad \Rightarrow \quad \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) \] \[ \cos(\beta)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \quad \Rightarrow \quad \beta=\cos^{-1}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) \] \[ \cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \quad \Rightarrow \quad \gamma=\cos^{-1}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) \] |
| a)\(a = 7 \ cm\), \(b = 9 \ cm\), \(c = 11 \ cm\) | i)\(a = 13 \ cm\), \(b = 17 \ cm\), \(c = 20 \ cm\) |
| b)\(a = 8 \ cm\), \(b = 10 \ cm\), \(c = 12 \ cm\) | j)\(a = 18 \ cm\), \(b = 14 \ cm\), \(c = 22 \ cm\) |
| c)\(a = 6 \ cm\), \(b = 13 \ cm\), \(c = 14 \ cm\) | k)\(a = 16 \ cm\), \(b = 21 \ cm\), \(c = 19 \ cm\) |
| d)\(a = 15 \ cm\), \(b = 10 \ cm\), \(c = 18 \ cm\) | l)\(a = 20 \ cm\), \(b = 24 \ cm\), \(c = 28 \ cm\) |
| e)\(a = 11 \ cm\), \(b = 7 \ cm\), \(c = 13 \ cm\) | m)\(a = 25 \ cm\), \(b = 18 \ cm\), \(c = 30 \ cm\) |
| f)\(a = 9 \ cm\), \(b = 15 \ cm\), \(c = 17 \ cm\) | n)\(a = 23 \ cm\), \(b = 27 \ cm\), \(c = 20 \ cm\) |
| g)\(a = 12 \ cm\), \(b = 16 \ cm\), \(c = 19 \ cm\) | o)\(a = 14 \ cm\), \(b = 26 \ cm\), \(c = 31 \ cm\) |
| h)\(a = 10 \ cm\), \(b = 14 \ cm\), \(c = 18 \ cm\) | p)\(a = 29 \ cm\), \(b = 24 \ cm\), \(c = 32 \ cm\) |
Ergänzung: Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras ist eine Sonderform des Kosinussatzes.
Wenn der Winkel \(\gamma\) ein rechter Winkel ist, dann gilt:
\[ \gamma=90^\circ \quad \text{und} \quad \cos(90^\circ)=0 \]
Dadurch fällt der gemischte Teil weg:
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot 0 \]
Also bleibt:
\[ c^2=a^2+b^2 \]