Baumdiagramme auslesen und erstellen
Einstieg
Situation auf dem Jahrmarkt
Stellt euch vor, ihr seid auf einem bunten Jahrmarkt. Dort gibt es zahlreiche Attraktionen und Spielbuden, an denen ihr verschiedene Spiele spielen könnt, um Preise zu gewinnen. Zwei der Spielbuden haben besonders interessante Spiele, bei denen ihr eine Kugel aus einer Urne zieht. An jeder Bude wird das Spiel etwas anders gespielt.
Spielbude 1: "Die Farbige Urne"
Die Regeln sind einfach: Ihr zieht eine Kugel aus der Urne und gewinnt einen Preis basierend auf der Farbe der gezogenen Kugel.
- Blaue Kugel: Ihr gewinnt einen kleinen Preis.
- Braune Kugel: Ihr gewinnt einen großen Preis.
Spielbude 2: "Die Bunte Urne"
Auch hier zieht ihr eine Kugel und gewinnt je nach Farbe der gezogenen Kugel einen Preis.
- Braune Kugel: Ihr gewinnt einen kleinen Preis.
- Gelbe Kugel: Ihr gewinnt einen mittelgroßen Preis.
- Rote Kugel: Ihr gewinnt den Hauptpreis.
Aufgabenstellung
Nun, bevor wir mit den Spielen beginnen, wollen wir uns überlegen, welche Chancen ihr habt, die verschiedenen Preise zu gewinnen.
Definition: (einstufiges) Baumdiagramm
Ein einstufiges Baumdiagramm ist ein einfaches grafisches Werkzeug, das zur Darstellung der möglichen Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten eines einzelnen Zufallsexperiments verwendet wird.
Aufbau eines einstufigen Baumdiagramms
- Startknoten: Der Ausgangspunkt des Diagramms, von dem aus die möglichen Ergebnisse abgehen.
- Äste: Vom Startknoten gehen mehrere Äste ab, die jeweils ein mögliches Ergebnis des Zufallsexperiments repräsentieren.
- Endknoten: Am Ende jedes Astes befindet sich ein Knoten, der ein mögliches Ergebnis des Experiments darstellt.
- Beschriftung: Jeder Ast ist mit der Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ergebnisses beschriftet.
Beispiel (oben): In einer Urne befinden sich 3 weiße Kugeln, eine gelbe Kugel und eine blaue Kugel.
- Startknoten: Ausgangspunkt des Wurfs.
- Äste: Drei Äste, jeweils für die Ereignisse weiße Kugel, gelbe Kugel und blaue Kugel.
- Endknoten: Jeder Ast endet in einem Knoten mit einem der Ergebnisse (hier eingefärbt).
- Beschriftung: Jeder Ast ist mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{5}\) oder \(\frac{3}{5}\) beschriftet.
Beispiel (unten): In einer Urne befinden sich 7 rote Kugeln und eine blaue Kugel.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Zeichne jeweils das passende Baumdiagramm und die zugehörige Urne.
a) Eine Urne enthält 2 rote und 3 blaue Kugeln.
b) Eine Urne enthält 3 rote, 2 gelbe und 1 blaue Kugel.
c) Eine Urne enthält 4 grüne und 5 braune Kugeln.
d) Eine Urne enthält 5 rote, 3 blaue und 2 gelbe Kugeln.
e) Eine Urne enthält 6 rote und 4 blaue Kugeln.
f) Eine Urne enthält 3 rote, 2 gelbe, 3 grüne und 2 blaue Kugeln.
g) Eine Urne enthält 5 rote und 3 blaue Kugel.
h) Eine Urne enthält 2 rote, 3 gelbe, 1 grüne und 2 braune Kugeln.
i) Eine Urne enthält 5 blaue und 3 gelbe Kugeln.
j) Eine Urne enthält 3 rote, 2 grüne und 5 blaue Kugeln.
k) Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 blaue und 3 braune Kugeln.
l) Eine Urne enthält 6 rote und 2 grüne Kugeln.
m) Eine Urne enthält 4 blaue, 4 gelbe und 2 grüne Kugeln.
n) Eine Urne enthält 3 rote, 3 blaue und 4 braune Kugeln.
Aufgabe 2: Skizziere jeweils ein Urnenmodell, das zum angegebenen Baumdiagramm passt und übertrage das entsprechende Baumdiagramm zusätzlich in dein Heft.
Aufgabe 3: Bestimme zu jedem Baumdiagramm die benötigte Anzahl an Kugeln in der Urne. Übertrage auch das Baumdiagramm in dein Heft.
Aufgabe 4: Übertrage jeweils die Baumdiagramme in dein Heft und ergänze die fehlende relative Häufigkeit als gekürzten Bruch. Bestimme die Anzahl der benötigten Kugeln pro Farbe.