Wahrscheinlichkeiten berechnen
Einstieg
Situation auf dem Jahrmarkt
Stellt euch vor, ihr seid auf einem bunten Jahrmarkt. Dort gibt es zahlreiche Attraktionen und Spielbuden, an denen ihr verschiedene Spiele spielen könnt, um Preise zu gewinnen. Zwei der Spielbuden haben besonders interessante Spiele, bei denen ihr eine Kugel aus einer Urne zieht. An jeder Bude wird das Spiel etwas anders gespielt.
Spielbude 1: "Die Farbige Urne"
Die Regeln sind einfach: Ihr zieht eine Kugel aus der Urne und gewinnt einen Preis basierend auf der Farbe der gezogenen Kugel.
- Blaue Kugel: Ihr gewinnt einen kleinen Preis.
- Braune Kugel: Ihr gewinnt einen großen Preis.
Spielbude 2: "Die Bunte Urne"
Auch hier zieht ihr eine Kugel und gewinnt je nach Farbe der gezogenen Kugel einen Preis.
- Braune Kugel: Ihr gewinnt einen kleinen Preis.
- Gelbe Kugel: Ihr gewinnt einen mittelgroßen Preis.
- Rote Kugel: Ihr gewinnt den Hauptpreis.
Aufgabenstellung
Nun wollen wir uns überlegen, bei welcher Spielbude die Wahrscheinlichkeit höher ist, einen Gewinn zu erzielen. nimm begründet Stellung.
Definition: Laplace-Wahrscheinlichkeit
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist definiert als das Verhältnis der Anzahl der günstigen Ergebnisse zur Anzahl der möglichen Ergebnisse. Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments müssen gleich wahrscheinlich sein.
Mathematisch ausgedrückt für ein beliebiges Ereignis \(E\):
\[P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Beispiel
Wir haben einen fairen sechsseitigen Würfel und möchten Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Mögliche Ergebnisse: Beim Würfeln gibt es insgesamt 6 mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
\(P(\text{"gerade Zahl"})\): Die geraden Zahlen unter diesen Ergebnissen sind 2, 4 und 6. Das sind 3 günstige Ergebnisse.
\[P(\text{"gerade Zahl"}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
\(P(\text{"kleiner als 3"})\): Die Zahlen, die kleiner als 3 sind, entsprechen den Werten 1 und 2. Das sind 2 günstige Ergebnisse.
\[P(\text{"kleiner als 3"}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
\(P(\text{5})\): Die Zahlen, die den Wert 5 haben, ist nur die Zahl 5. Das ist ein günstiges Ergebnis.
\[P(\text{5}) = \frac{1}{6}\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Berechne die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Laplace-Regel. Kürze das Ergebnis so weit wie möglich.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei einem fairen Würfel eine 3 zu würfeln.
b) Ein Beutel enthält 5 rote und 3 grüne Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf Kopf zu erhalten.
d) Ein Skatspiel enthält 32 Karten. Berechne die Wahrscheinlichkeit, ein Herz zu ziehen.
e) Ein Würfel hat die Zahlen 1 bis 5, aber die Zahl 5 kommt doppelt so häufig vor wie jede andere Zahl. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu würfeln.
f) Eine Urne enthält 4 blaue, 3 gelbe und 5 rote Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen.
g) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Münzwürfen beide Münzen Kopf zeigen.
h) Ein Würfel hat die Zahlen 1, 2, 2, 3, 3, 3. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine 2 zu würfeln.
i) Ein Beutel enthält 6 weiße, 2 schwarze und 4 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen.
j) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Münzwürfen genau zwei Münzen Kopf zeigen.
k) Ein Skatspiel enthält 32 Karten. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine Bildkarte (Bube, Dame, König) zu ziehen.
l) Ein Würfel hat die Zahlen 1, 1, 2, 2, 3, 3. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu würfeln.
m) Eine Urne enthält 3 rote, 4 blaue und 2 grüne Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen.
n) Ein Beutel enthält 7 rote und 5 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen.
o) Ein Würfel hat die Zahlen 1, 2, 2, 4, 4, 4. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln.
p) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem fairen Würfel eine Zahl größer als 4 gewürfelt wird.