Parallelogramm
Einstieg
Einstiegsaufgabe: Der schräge Pausenhofbereich
Auf dem Schulhof soll ein neuer Bereich mit Pflastersteinen gestaltet werden. Die Fläche ist kein Rechteck, sondern hat die Form eines Parallelogramms, weil der Weg schräg an einem Beet entlangläuft.
Die Seite \(a\) ist \(6\,\text{m}\) lang, die Seite \(b\) ist \(4\,\text{m}\) lang. Der Winkel zwischen den beiden Seiten beträgt \(\alpha = 60^\circ\).
Die Schule möchte wissen, wie lang die Randsteine insgesamt sein müssen und wie viele Quadratmeter Pflastersteine für den Hof benötigt werden.
Aufgabe: Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des Pausenhofbereichs.
Schiebe das Rechteck zum Parallelogramm. Setze eine senkrechte Höhe ein, zerlege die Figur und ziehe die beiden Teilfiguren per Drag & Drop wieder zusammen.
Bedienung: Die gelbe Höhenlinie bleibt immer senkrecht zur Grundseite. Die farbigen Teilfiguren lassen sich per Maus oder Finger ziehen und können an passenden Kanten einrasten. Die Parallelogramm-Umrandung kann über die Checkbox ausgeblendet werden.
Einstellungen
Definition: Parallelogramm
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem zwei Paare gegenüberliegender Seiten jeweils gleich lang und parallel sind.
Flächeninhalt und Umfang
Es gilt
\[\Large u = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \dot (a + b)\]
\[\Large A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe: Parallelogramm konstruieren
Für jedes Parallelogramm gilt:
- Zeichne zuerst eine Planfigur in dein Heft. Markiere darin alle gegebenen Größen.
- Konstruiere das Parallelogramm anschließend im Grafikfenster.
- Schreibe danach eine Konstruktionsbeschreibung in dein Heft.
- Konstruiere das Parallelogramm nun mit Zirkel, Lineal und Geodreieck sauber im Heft.
- Bestimme abschließend Umfang und Flächeninhalt.
Verwende die Bezeichnungen:
| a, b = Seitenlängen | e = Diagonale AC | f = Diagonale BD |
| \(\alpha\) = Winkel bei A und C | \(\beta\) = Winkel bei B und D | U = Umfang |
| A = Flächeninhalt | \(h_a\) = Höhe zur Seite a | \(h_b\) = Höhe zur Seite b |
Hilfreiche Formeln:
| \(U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\) | \(A = a \cdot h_a\) | \(A = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\) |
| \(\alpha + \beta = 180^\circ\) | gegenüberliegende Seiten sind gleich lang | gegenüberliegende Seiten sind parallel |
Aufgaben / Übung
Aufgabe: Konstruiere die angegebenen Parallelogramme in deinem Heft. Zeichne zuerst eine Planfigur und schreibe anschließend eine Konstruktionsbeschreibung.
| Nr. | Gegeben sind |
|---|---|
| a) | \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\), \(\alpha = 60^\circ\) |
| b) | \(a = 7\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\), \(\beta = 120^\circ\) |
| c) | \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\), \(e = 8\,\text{cm}\) |
| d) | \(a = 7\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\), \(f = 6\,\text{cm}\) |
| e) | \(a = 5{,}5\,\text{cm}\), \(b = 3{,}5\,\text{cm}\), \(\alpha = 75^\circ\) |
| f) | \(a = 8\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\), \(\beta = 105^\circ\) |
| g) | \(a = 5\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\), \(e = 7\,\text{cm}\) |
| h) | \(a = 6{,}5\,\text{cm}\), \(b = 4{,}5\,\text{cm}\), \(f = 5\,\text{cm}\) |
| i) | \(a = 7{,}5\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\), \(\alpha = 50^\circ\) |
| j) | \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 3{,}5\,\text{cm}\), \(\beta = 130^\circ\) |
| k) | \(a = 8\,\text{cm}\), \(b = 6\,\text{cm}\), \(e = 10\,\text{cm}\) |
| l) | \(a = 7\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\), \(f = 5{,}5\,\text{cm}\) |
Konstruktionsassistent: Parallelogramm
Trage die gegebenen Größen ein. Das Tool erkennt eine passende Konstruktionsidee und gibt die Schritte nacheinander aus. Die Anleitung ist für die Papierkonstruktion gedacht.
Gegebene Größen eintragen
Gut funktionieren zum Beispiel: \(a+b+\alpha\), \(a+b+\beta\), \(a+b+e\) oder \(a+b+f\).