Raute/Rhombus
Einstieg
Einstiegsaufgabe: Das neue Warnschild
Auf dem Schulhof soll ein neues Warnschild aufgehängt werden. Das Schild hat die Form einer Raute. Damit es stabil ist, wird es auf der Rückseite mit zwei Metallstreben entlang der Diagonalen verstärkt.
Die eine Diagonale ist \(e = 80\,\text{cm}\) lang, die andere Diagonale ist \(f = 60\,\text{cm}\) lang.
Die Schule möchte wissen, wie groß die Vorderseite des Schildes ist und wie lang der äußere Rand des Schildes ungefähr ist.
Aufgabe:
- Fertige eine Skizze des Schildes an.
- Ermittle möglichst genau den Flächeninhalt der Raute.
- Ermittle möglichst genau die Länge des äußeren Randes.
Hinweis: Du musst die Größen noch nicht direkt mit einer Formel berechnen. Nutze eine Zeichnung, Misswerte, Zerlegungen oder andere geeignete Ideen.
Flächeninhalt einer Raute
Zwei identische Rauten füllen zusammen ein Rechteck. Das Rechteck hat die Seitenlängen der Diagonalen e und f. Deshalb ist eine Raute halb so groß wie dieses Rechteck.
Zwei Rauten füllen ein Rechteck
Links liegt eine zweite, identische Raute. Sie ist durch ihre Diagonalen in vier Dreiecke zerlegt. Die vier Dreiecke werden an die freien Stellen des Rechtecks bewegt.
Einstellungen
Animation
Begründung
Definition: Raute / Rhombus
Eine Raute / ein Rhombus ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.
Flächeninhalt und Umfang
Es gilt
\[\Large u = 4 \cdot a\]
\[\Large A = \frac{e \cdot f}{2}\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe: Rauten konstruieren
Für jede Raute gilt:
- Zeichne zuerst eine Planfigur in dein Heft. Markiere darin alle gegebenen Größen.
- Konstruiere die Raute anschließend im Grafikfenster.
- Schreibe danach eine Konstruktionsbeschreibung in dein Heft.
- Konstruiere die Raute nun mit Zirkel, Lineal und Geodreieck sauber im Heft.
- Bestimme abschließend Umfang und Flächeninhalt.
Verwende die Bezeichnungen:
| a = Seitenlänge | e = Diagonale AC | f = Diagonale BD |
| hₐ = Höhe zur Seite a | U = Umfang | A = Flächeninhalt |
Hilfreiche Formeln:
| \(u = 4 \dot a\) | \(A = a \cdot h_a\) | \(A = \frac{e \cdot f}{2}\) |
Hinweise
Bei den Aufgaben mit zwei Diagonalen nutzt du: Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig.
Bei den Aufgaben mit Seitenlänge und einer Diagonale nutzt du: Die Eckpunkte links und rechts der Diagonale haben jeweils den Abstand a von beiden Diagonalendpunkten. Du findest sie also mit zwei Kreisen.
Bei den Aufgaben mit Seitenlänge und Höhe nutzt du: Die gegenüberliegende Seite liegt auf einer Parallelen im Abstand hₐ zur Grundseite.
Aufgabe: Konstruiere die angegebenen Rauten in deinem Heft. Zeichne zuerst eine Planfigur und schreibe anschließend eine Konstruktionsbeschreibung.
| Nr. | Gegeben sind |
|---|---|
| a) | \(a = 5\,\text{cm}\), \(h_a = 3\,\text{cm}\) |
| b) | \(e = 6\,\text{cm}\), \(f = 8\,\text{cm}\) |
| c) | \(a = 6\,\text{cm}\), \(\alpha = 60^\circ\) |
| d) | \(a = 5\,\text{cm}\), \(e = 6\,\text{cm}\) |
| e) | \(a = 6\,\text{cm}\), \(h_a = 4\,\text{cm}\) |
| f) | \(e = 8\,\text{cm}\), \(f = 6\,\text{cm}\) |
| g) | \(a = 7\,\text{cm}\), \(\alpha = 45^\circ\) |
| h) | \(a = 6{,}5\,\text{cm}\), \(e = 5\,\text{cm}\) |
| i) | \(e = 12\,\text{cm}\), \(f = 16\,\text{cm}\) |
| j) | \(a = 7{,}5\,\text{cm}\), \(f = 9\,\text{cm}\) |
| k) | \(a = 7\,\text{cm}\), \(h_a = 5\,\text{cm}\) |
| l) | \(a = 5{,}5\,\text{cm}\), \(\alpha = 120^\circ\) |
Konstruktionsassistent: Raute
Trage die gegebenen Größen ein. Das Tool erkennt eine passende Konstruktionsidee und gibt dir die Schritte nacheinander aus. Die Anleitung ist für die Papierkonstruktion gedacht: Senkrechten werden über Mittelsenkrechten konstruiert, Parallelen durch Parallelenverschiebung.
Gegebene Größen eintragen
Hinweis: Das Tool ist ein Assistent. Ob die Angaben wirklich funktionieren, sollst du bei der Konstruktion auch selbst überprüfen.