Drachenviereck
Einstieg
Marco lässt einen Drachen steigen. Der Drachen hat die Form eines Drachenvierecks. Die Diagonalen sind \(e = 80\,\text{cm}\) und \(f = 50\,\text{cm}\) lang. Der Abstand vom unteren Punkt des Drachens bis zum Schnittpunkt der Diagonalen beträgt \(m = 30\,\text{cm}\).
Damit der Drachen stabil ist, soll der äußere Rand mit dünnen Stäben verstärkt werden. Außerdem soll die Fläche des Drachens mit Stoff bespannt werden.
Fragestellung: Wie lang müssen die Stäbe für den äußeren Rahmen insgesamt sein und wie viel Stoff wird mindestens benötigt?
Flächeninhalt eines Drachenvierecks
Zwei identische Drachenvierecke füllen zusammen ein Rechteck. Das Rechteck hat die Seitenlängen der Diagonalen e und f. Deshalb ist ein Drachenviereck halb so groß wie dieses Rechteck.
Zwei Drachenvierecke füllen ein Rechteck
Links liegt ein zweites, identisches Drachenviereck. Es ist durch seine Diagonalen in vier Dreiecke zerlegt. Die vier Dreiecke werden an die freien Stellen des Rechtecks bewegt.
Einstellungen
Animation
Begründung
Definition: Drachenviereck (Deltoid)
Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem zwei Paare benachbarter Seiten jeweils gleich lang sind.
Es besitzt eine Symmetriediagonale. Diese steht senkrecht auf der anderen Diagonale und halbiert sie.
Flächeninhalt und Umfang
Es gilt
\[\Large u = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \dot (a + b)\]
\[\Large A = \frac{e \cdot f}{2}\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe: Drachenviereck konstruieren
Für jedes Drachenviereck gilt:
- Zeichne zuerst eine Planfigur in dein Heft. Markiere darin alle gegebenen Größen.
- Konstruiere das Drachenviereck anschließend im Grafikfenster.
- Schreibe danach eine Konstruktionsbeschreibung in dein Heft.
- Konstruiere das Drachenviereck nun mit Zirkel, Lineal und Geodreieck sauber im Heft.
- Bestimme abschließend Umfang und Flächeninhalt.
Verwende die Bezeichnungen:
| a, b = Seitenlänge | e = Diagonale AC | f = Diagonale BD |
| U = Umfang | A = Flächeninhalt |
Hilfreiche Formeln:
| \(u = 2 \cdot a + 2 \cdot b\) | \(A = \frac{e \cdot f}{2}\) |
Aufgaben / Übung
Aufgabe: Konstruiere die angegebenen Drachenvierecke in deinem Heft. Zeichne zuerst eine Planfigur und schreibe anschließend eine Konstruktionsbeschreibung.
| Nr. | Gegeben sind |
|---|---|
| a) | \(a = 5\,\text{cm}\), \(b = 7\,\text{cm}\), \(e = 8\,\text{cm}\) |
| b) | \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\), \(f = 5\,\text{cm}\) |
| c) | \(a = 5\,\text{cm}\), \(e = 8\,\text{cm}\), \(f = 6\,\text{cm}\) |
| d) | \(b = 6\,\text{cm}\), \(e = 10\,\text{cm}\), \(f = 8\,\text{cm}\) |
| e) | \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\), \(\gamma = 80^\circ\) |
| f) | \(a = 5{,}5\,\text{cm}\), \(b = 7\,\text{cm}\), \(\beta = 110^\circ\) |
| g) | \(a = 7\,\text{cm}\), \(b = 4{,}5\,\text{cm}\), \(e = 9\,\text{cm}\) |
| h) | \(a = 6{,}5\,\text{cm}\), \(b = 5{,}5\,\text{cm}\), \(f = 7\,\text{cm}\) |
| i) | \(a = 6\,\text{cm}\), \(e = 9\,\text{cm}\), \(f = 7\,\text{cm}\) |
| j) | \(b = 5\,\text{cm}\), \(e = 9\,\text{cm}\), \(f = 6\,\text{cm}\) |
| k) | \(a = 8\,\text{cm}\), \(b = 6\,\text{cm}\), \(\gamma = 60^\circ\) |
| l) | \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 8\,\text{cm}\), \(\beta = 95^\circ\) |
Konstruktionsassistent: Drachenviereck
Trage die gegebenen Größen ein. Das Tool erkennt eine passende Konstruktionsidee und gibt die Schritte nacheinander aus. Die Anleitung ist für die Papierkonstruktion gedacht.
Gegebene Größen eintragen
Gut funktionieren zum Beispiel: \(a+b+e\), \(a+b+f\), \(a+b+\alpha\), \(a+b+\beta\), \(a+b+\gamma\), \(e+f+m\), \(a+e+f\) oder \(b+e+f\).