Steigung und Steigungsdreieck
Einstieg
Stellt euch vor, ihr seid Teil eines Trupps Bergsteiger, die einen hohen Berg erklimmen. Euer Ziel ist es, den Gipfel innerhalb eines Tages zu erreichen. Gemeinsam plant ihr die Route und berechnet, wie lange ihr für den Aufstieg benötigt. Dabei werdet ihr feststellen, dass es hilfreich ist, zu wissen, wie viel Höhe ihr pro Stunde schafft.
Ein Trupp erfahrener Bergsteiger klettert tagsüber einen Berg hinauf. Innerhalb von 9 Stunden schaffen sie eine Höhe von 1800 Metern. Eure Aufgabe heute ist es, herauszufinden, wie viele Meter die Bergsteiger in einer Stunde zurücklegen und daraus eine proportionale Funktion zu erstellen.
Aufgabenstellung
Berechnung der Steigung:
- Überlegt gemeinsam, wie ihr herausfinden könnt, wie viele Meter die Bergsteiger pro Stunde zurücklegen.
- Ihr wisst: Der gesamte Höhenunterschied beträgt 1800 Meter und die Zeit beträgt 9 Stunden.
- Berechnet, wie viele Meter die Bergsteiger in einer Stunde schaffen.
Proportionale Funktion aufstellen:
- Nachdem ihr die Steigung (Meter pro Stunde) herausgefunden habt, stellt ihr die proportionale Funktion auf, die beschreibt, wie die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit (in Stunden) zunimmt.
- Überlegt, welche Form die Funktion hat und wie ihr sie in einer allgemeinen Form (y = m*x) aufschreiben könnt.
Graph zeichnen:
- Zeichnet einige der Höhenwerte in ein Koordinatensystem.
- Beispiel: (0,0) oder (1, 200), ... um zu zeigen, wie die Höhe mit der Zeit zunimmt.
- Verbindet die Punkte zu einer proportionalen Funktion.
Gegeben:
- Gesamtzeit: 9 Stunden
- Gesamthöhe: 1800 Meter
Gesucht:
- Steigung (Meter pro Stunde):
Rechnung:
\[\frac{1800 \ m}{9 \ h} = \frac{1800}{9} \frac{m}{h} = 200 \frac{m}{h}\]
Antwort:
die Bergsteiger schaffen 200 Meter pro Stunde.
Die Höhe \(y\) in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) (in Stunden) kann durch eine proportionale Funktion beschrieben werden: \[y=200⋅x\]
Das bedeutet: Pro Stunde schaffen die Bergsteiger 200 Meter Höhe.
Erarbeitung [TIMER:1200]
Aufgabe E1:
a) Erstelle Wertetabellen der Funktionen \(f(x)=3x\) und \(g(x)=3x+1\) und zeichne sie jeweils in ein Koordinatensystem.
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) |
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) |
b) Markiere die Punkte auf dem Funktionsgraphen, bei denen die Gerade ein Gitterkreuz deines Papiers kreuzt.
c) Zeichne rechtwinklige Dreiecke zu diesen Punkten. Beginne an der Stelle \(x=0\).
Beispiel: Steigungsdreieck
d) Notiere an den Steigungsdreiecken jeweils die Länge der Seiten an den Seiten, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
[TIMER:600]
Aufgabe 1: Übertrage den Merkkasten, die Erklärung und die Grafik in dein Heft.
Definition: Steigung einer Funktion
Die Steigung \(m\) einer Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert zunimmt oder abnimmt, wenn sich der Eingabewert verändert.
Bei linearen Funktionen ist die Steigung überall gleich. Das bedeutet: Der Graph steigt oder fällt gleichmäßig.
Um die Steigung zu bestimmen, verwendet man häufig ein Steigungsdreieck. Dabei zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck entlang des Graphen der Funktion.
Die Steigung ergibt sich aus dem Verhältnis von
Höhenunterschied \(\Delta y\) und Breitenunterschied \(\Delta x\)
Mathematisch wird die Steigung daher berechnet durch
\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
Man teilt also den Höhenunterschied durch den Breitenunterschied.
Steigung berechnen
\[\huge m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Aufgaben / Übung [TIMER:2700]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb;60;1 - 2;Ah;24;4 - 5;]
Formel
\[\huge m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
Aufgabe 2: Zeichne jeweils die zusammengehörigen Punkte in ein Koordinatensystem.
a) Verbinde sie mit einer Geraden (eine Gerade geht in beide Richtungen über die Punkte hinaus!).
b) Berechne die Steigung mit der Formel \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
| a) \(P(−3\mid 2), Q(5\mid 7)\) | h) \(P(−1\mid 8), Q(2\mid −8)\) |
| b) \(P(1\mid −7), Q(−1\mid −1)\) | i) \(P(−8\mid 0), Q(8\mid 4)\) |
| c) \(P(−4\mid 4), Q(4\mid −2)\) | j) \(P(−6\mid 6), Q(3\mid −3)\) |
| d) \(P(−7\mid 3), Q(6\mid −5)\) | k) \(P(−5\mid −5), Q(5\mid −1)\) |
| e) \(P(0\mid 8), Q(8\mid 0)\) | l) \(P(−3\mid 7), Q(4\mid −7)\) |
| f) \(P(3\mid 6), Q(−5\mid −6)\) | m) \(P(2\mid 2), Q(−7\mid −7)\) |
| g) \(P(−2\mid −3), Q(7\mid 5)\) | n) \(P(1\mid 1), Q(−1\mid −2)\) |
Steigung aus zwei Punkten
Ziehe die Punkte A und B im Koordinatensystem. Das Applet zeigt die Gerade, das Steigungsdreieck und die Berechnung der Steigung.
Aufgaben / Übung [TIMER:2700]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb;61;3 - 7;Lb**;61;8;Ah;24;6;]
Textaufgaben / Anwendungsaufgaben
Beschreibe für jede Textaufgabe, welche Änderungsrate die Steigung beschreibt.
-
Höhenunterschied beim Bergsteigen: Ein Bergsteiger steigt innerhalb von 2 Stunden um 800 Meter an. Bestimme den Steigungsfaktor der Funktion, die seine Höhe über der Zeit beschreibt.
-
Wachstum von Pflanzen: Eine Pflanze wächst pro Woche um durchschnittlich 5 Zentimeter in die Höhe. Ermittle den Steigungsfaktor der linearen Funktion, die das Wachstum der Pflanze beschreibt.
-
Geschwindigkeit eines Autos: Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 100 Kilometern pro Stunde. Finde den Steigungsfaktor der Funktion, die die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
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Einnahmen einer Firma: Eine Firma erhöht ihre Einnahmen pro Monat um durchschnittlich 2000 Euro. Berechne den Steigungsfaktor der linearen Funktion, die die Einnahmen der Firma modelliert.
-
Abkühlung eines Getränks: Die Temperatur eines Getränks sinkt pro Minute um 0,5 Grad Celsius. Bestimme den Steigungsfaktor der Funktion, die die Temperatur des Getränks in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
-
Wasserstand eines Sees: Der Wasserstand eines Sees steigt jede Stunde um durchschnittlich 10 Zentimeter an. Ermittle den Steigungsfaktor der Funktion, die den Wasserstand des Sees beschreibt.
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Zunahme von Sportlern in einem Fitnessstudio: Die Anzahl der Mitglieder in einem Fitnessstudio steigt pro Monat um durchschnittlich 50 Personen. Bestimme den Steigungsfaktor der Funktion, die die Anzahl der Mitglieder im Fitnessstudio modelliert.
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Preiserhöhung eines Produkts: Der Preis eines Produkts wird jedes Jahr um durchschnittlich 5% erhöht. Finde den Steigungsfaktor der Funktion, die den Preis des Produkts in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
-
Höhenänderung eines Flugzeugs: Ein Flugzeug steigt pro Minute um durchschnittlich 200 Meter an. Ermittle den Steigungsfaktor der Funktion, die die Höhe des Flugzeugs über der Zeit beschreibt.
-
Wachstum einer Population: Die Bevölkerung einer Stadt wächst pro Jahr um durchschnittlich 1000 Personen. Bestimme den Steigungsfaktor der Funktion, die die Größe der Bevölkerung der Stadt modelliert.