Rationale Zahlen
Einstieg
a) Übertrage die Tabelle in dein Heft.
b) Entscheide, bei welchen der folgenden Zahlen es sich um natürliche Zahlen oder Bruchzahlen handelt. Setze entsprechende \(\checkmark\).
c) Notiere bei Zahlen, die keine Brüche sind und als Bruch darstellbar sind, eine entsprechende Bruchschreibweise.
| Zahl | Natürliche Zahl | Bruchzahl | Als Bruch darstellbar |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(\checkmark\) | ||
| \(1\) | |||
| \(2\) | |||
| \(\frac{1}{2}\) | |||
| \(\frac{3}{4}\) | |||
| \(3\) | |||
| \(\frac{5}{1}\) | |||
| \(5\) |
Ergebnissicherung
| Zahl | Natürliche Zahl | Bruchzahl | Als Bruch darstellbar |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) \(\left(\frac{0}{1}\right)\) | |
| \(1\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\)\(\left(\frac{1}{1}\right)\) | |
| \(2\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) \(\left(\frac{2}{1}\right)\) | |
| \(\frac{1}{2}\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) | |
| \(\frac{3}{4}\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) | |
| \(3\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) \(\left(\frac{3}{1}\right)\) | |
| \(\frac{5}{1}\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) | |
| \(5\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) \(\left(\frac{5}{1}\right)\) |
Definition: Rationale Zahlen
Rationale Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind Zahlen, die sich als Bruch \(\frac{a}{b}\) darstellen lassen, wobei \(a\) und \(b\) ganze Zahlen sind und \(b\neq 0\) gilt.
| Natürliche Zahlen: | Natürliche Zahlen ohne Null: | Positive rationale Zahlen: |
|---|---|---|
| \(\mathbb{N} = \left\{0, 1, 2, 3, \ldots \right\}\) | \(\mathbb{N}^+ = \left\{1, 2, 3, \ldots \right\}\) | \(\mathbb{Q}^+ = \left\{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{N}^+\right\}\) |
Beispiele
\(\in \mathbb{N}\) (Element der natürlichen Zahlen) | \(\in \mathbb{Q}^+\) (Element der positiven rationalen Zahlen) | \(\not\in \mathbb{Q}^+\) (nicht Element der positiven rationalen Zahlen) | |
|---|---|---|---|
| \(\frac{3}{4}\) | \(\checkmark\) | ||
| \(15\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) | |
| \(-12\) | \(\checkmark\) | ||
| \(0\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) | |
| \(2\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) | |
| \(\frac{1}{3}\) | \(\checkmark\) | ||
| \(7\) | \(\checkmark\) | \(\checkmark\) | |
| \(-\frac{1}{2}\) | \(\checkmark\) |
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Entscheide bei den folgenden Zahlen, ob sie zu den natürlichen Zahlen (\(\in \mathbb{N}\)), den positiven rationalen Zahlen (\(\in \mathbb{Q}^+\)), oder zu keiner der beiden Mengen gehören.
Beispiel: \(17 \in \mathbb{N}\) und \(17 \in \mathbb{Q}^+\), weil \(17 = \frac{17}{1}\)
a) \( 0\) b) \(\frac{1}{2}\) c) \(\frac{4}{1}\) d) \(7\) e) \(\frac{3}{4}\) f) \(\frac{9}{2}\) g) \(\frac{16}{16}\) h) \(5\) | i) \(\frac{25}{5}\) j) \(\frac{3}{3}\) k) \(12\) l) \(\frac{0}{1}\) m) \(\frac{100}{10}\) n) \(0,75\) o) \(\frac{5}{4}\) p) \(\frac{12}{3}\) |
Aufgabe 2: Übertrage das Diagramm in dein Heft und trage die folgenden Zahlen in den richtigen Bereich ein.
| a) \(0\); \(1\); \(47\); \(\frac{1}{2}\); \(\frac{9}{10}\) | b) \(5\); \(\frac{5}{8}\); \(7;2\); \(21\) | c) \(\frac{3}{4}\); \(1,5\); \(\frac{2}{3}\); \(0,25\); \(14\) |
Aufgabe 3: Entscheide, welche Aussagen richtig oder falsch sind. Widerlege falsche Aussagen mit einem Gegenbeispiel!
a) Jede natürliche Zahl ist auch eine rationale Zahl.
b) Jede rationale Zahl ist auch eine natürliche Zahl.
c) Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist immer eine natürliche Zahl.
d) Die Summe zweier rationaler Zahlen ist immer eine natürliche Zahl.
e) Jede positive rationale Zahl kann als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden.
f) Die Differenz zweier natürlicher Zahlen ist immer eine natürliche Zahl.
g) Die Division zweier natürlicher Zahlen ergibt immer eine natürliche Zahl.
h) Jede rationale Zahl kann als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden, wobei der Nenner nicht null ist.
i) Die Division zweier rationaler Zahlen kann nie null ergeben.
j) Es gibt rationale Zahlen, die nicht als endliche oder periodische Dezimalzahl dargestellt werden können.
k) Die Zahl 0 gehört zu den natürlichen Zahlen und zu den rationalen Zahlen.