Multiplikation von rationalen Zahlen
Erarbeitung
Aufgabe E1:
a) Probiere in der Lernapp verschiedene Zahlen aus. Beobachte, wie die Vielfachen auf der Zahlengeraden entstehen. Die App zeigt dir zuerst die Faktoren von \( 0 \) bis \( 10 \) und danach die Faktoren von \( 0 \) bis \( -10 \).
b) Stelle anschließend die Zahl \( 7 \) ein. Notiere die Reihe von \( 0 \cdot 7 \) bis \( 10 \cdot 7 \) und von \( 0 \cdot 7 \) bis \( -10 \cdot 7 \) in deinem Heft.
c) Stelle danach die Zahl \( -7 \) ein. Notiere auch hier beide Reihen mit den passenden Multiplikationsaufgaben.
d) Vergleiche deine Ergebnisse. Was verändert sich, wenn die eingestellte Zahl negativ ist?
Tabelle für 5 und -5:
| -10 | -9 | -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | -50 | -45 | -40 | -35 | -30 | -25 | -20 | -15 | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| -5 | 50 | 45 | 40 | 35 | 30 | 25 | 20 | 15 | 10 | 5 | 0 | -5 | -10 | -15 | -20 | -25 | -30 | -35 | -40 | -45 | -50 |
Aufgabe E2: Ergänze die Tabelle in deinem Heft. Verwende die Zahlen aus Aufgabe E1.
Aufgabe E3: Sichere deine Erkenntnisse zur Multiplikation rationaler Zahlen.
Nutze das Applet und untersuche die folgenden Beispiele Schritt für Schritt. Achte darauf, welcher Faktor den Grundpfeil erzeugt und wann ein Seitenwechsel stattfindet.
| Beispiel | Grundpfeil durch den zweiten Faktor | Anzahl durch den ersten Faktor | Seitenwechsel? | Vorzeichen des Ergebnisses |
|---|---|---|---|---|
| \( 3 \cdot 5 \) | \( +5 \) | \( 3 \)-mal | nein | __________________ |
| \( 3 \cdot (-5) \) | \( -5 \) | \( 3 \)-mal | nein | __________________ |
| \( (-3) \cdot 5 \) | \( +5 \) | \( 3 \)-mal | ja | __________________ |
| \( (-3) \cdot (-5) \) | \( -5 \) | \( 3 \)-mal | ja | __________________ |
Formuliere anschließend eine Regel für das Vorzeichen des Ergebnisses.
| Fall | Schreibweise | Regel für das Ergebnis |
|---|---|---|
| positive Zahl mal positive Zahl | \( (+) \cdot (+) = \)___ | Das Ergebnis ist __________________. |
| positive Zahl mal negative Zahl | \( (+) \cdot (-) = \)___ | Das Ergebnis ist __________________. |
| negative Zahl mal positive Zahl | \( (-) \cdot (+) = \)___ | Das Ergebnis ist __________________. |
| negative Zahl mal negative Zahl | \( (-) \cdot (-) = \)___ | Das Ergebnis ist __________________. |
Begründung der Ergebnisvorzeichen:
Ein negatives Vorzeichen bei einer Multiplikation kann als Richtungswechsel auf dem Zahlenstrahl verstanden werden. Bei einem negativen Vorzeichen wird die Richtung einmal gewechselt, bei zwei negativen Vorzeichen zweimal.
| positiv ⋅ positiv = positiv | \((+) \cdot (+) = (+)\) | |
| positiv ⋅ negativ = negativ | \((+) \cdot (-) = (-)\) | (1x Richtung gewechselt) |
| negativ ⋅ positiv = negativ | \((-) \cdot (+) = (-)\) | (1x Richtung gewechselt) |
| negativ ⋅ negativ = positiv | \((-) \cdot (-) = (+)\) | (2x Richtung gewechselt) |
Wir entdecken zuerst das Vorzeichen.
Danach rechnen wir mit Beträgen.
Definition: Multiplikation mit negativen Zahlen
Bei der Multiplikation von rationalen Zahlen treten vier verschiedene Situationen auf, abhängig von den Vorzeichen der Zahlen, die multipliziert werden. Entweder sind beide Zahlen positiv, beide Zahlen negativ, eine Zahl positiv und die andere negativ oder umgekehrt.
positiv \(\cdot\) positiv | positiv \(\cdot\) negativ | negativ \(\cdot\) positiv | negativ \(\cdot\) negativ |
Das Ergebnis ist positiv. | Das Ergebnis ist negativ. | Das Ergebnis ist negativ. | Das Ergebnis ist positiv. |
Zunächst wird das Ergebnisvorzeichen bestimmt, indem die Vorzeichen der Faktoren miteinander verglichen werden. Anschließend wird die Multiplikation mit den Beträgen der Zahlen durchgeführt, wie es von der üblichen Multiplikation bekannt ist.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Berechne.
| a) \(3 \cdot (-4) = \square \) | b) \((-2) \cdot 6 = \square \) |
| c) \(7 \cdot (-5) = \square \) | d) \((-4) \cdot 9 = \square \) |
| e) \(4 \cdot (-3) = \square \) | f) \((-5) \cdot 8 = \square \) |
| g) \(9 \cdot (-2) = \square \) | h) \((-6) \cdot 7 = \square \) |
| i) \(8 \cdot (-1) = \square \) | j) \((-2) \cdot 10 = \square \) |
| k) \(5 \cdot (-4) = \square \) | l) \((-3) \cdot 6 = \square \) |
| m) \(7 \cdot (-2) = \square \) | n) \((-4) \cdot 5 = \square \) |
| o) \(7 \cdot (-8) = \square \) | p) \((-9) \cdot 3 = \square \) |
| q) \(6 \cdot (-2) = \square \) | r) \((-8) \cdot 4 = \square \) |
| s) \(5 \cdot (-9) = \square \) | t) \((-2) \cdot 7 = \square \) |
Aufgabe 2: Berechne. Achte auf die Vorzeichen.
| a) \((-15) \cdot (-4) = \square \) | b) \(12 \cdot (-6) = \square \) |
| c) \((-21) \cdot (-5) = \square \) | d) \(18 \cdot (-9) = \square \) |
| e) \((-14) \cdot 3 = \square \) | f) \(7 \cdot (-8) = \square \) |
| g) \((-19) \cdot 2 = \square \) | h) \(11 \cdot (-7) = \square \) |
| i) \((-23) \cdot 3 = \square \) | j) \(16 \cdot (-10) = \square \) |
| k) \((-17) \cdot 4 = \square \) | l) \(5 \cdot (-13) = \square \) |
| m) \((-24) \cdot 2 = \square \) | n) \(20 \cdot (-5) = \square \) |
| o) \((-22) \cdot (-8) = \square \) | p) \(9 \cdot (-3) = \square \) |
| q) \(6 \cdot (-2) = \square \) | r) \((-8) \cdot (-4) = \square \) |
| s) \(25 \cdot (-9) = \square \) | t) \((-12) \cdot 7 = \square \) |
Aufgabe 3: Berechne das Produkt der drei Faktoren.
| a) \((-6) \cdot 2 \cdot (-3) = \square \) | b) \(12 \cdot (-1) \cdot 5 = \square \) |
| c) \(4 \cdot (-7) \cdot 3 = \square \) | d) \((-5) \cdot 11 \cdot (-2) = \square \) |
| e) \(10 \cdot (-8) \cdot 1 = \square \) | f) \((-3) \cdot 9 \cdot 4 = \square \) |
| g) \(7 \cdot (-5) \cdot 6 = \square \) | h) \(2 \cdot 8 \cdot (-12) = \square \) |
| i) \(11 \cdot (-6) \cdot 3 = \square \) | j) \((-4) \cdot 10 \cdot 2 = \square \) |
| k) \((-9) \cdot 5 \cdot 8 = \square \) | l) \((-7) \cdot (-1) \cdot (-12) = \square \) |
| m) \(6 \cdot 10 \cdot (-3) = \square \) | n) \((-2) \cdot 25 \cdot 4 = \square \) |
| o) \(12 \cdot (-4) \cdot (-5) = \square \) | p) \(15 \cdot (-3) \cdot 2 = \square \) |
| q) \(20 \cdot (-1) \cdot 6 = \square \) | r) \((-7) \cdot 12 \cdot 5 = \square \) |
| s) \(3 \cdot 11 \cdot (-2) = \square \) | t) \((-5) \cdot (-10) \cdot (-4) = \square \) |
Aufgabe 4: Finde den fehlenden Faktor.
| a) \(5 \cdot \square = 20\) | b) \(\square \cdot 4 = -16\) |
| c) \((-3) \cdot \square = -9\) | d) \(\square \cdot (-5) = 15\) |
| e) \(7 \cdot \square = -21\) | f) \(\square \cdot 3 = 9\) |
| g) \((-2) \cdot \square = 10\) | h) \(\square \cdot 6 = -36\) |
| i) \(4 \cdot \square = -20\) | j) \(\square \cdot (-8) = 64\) |
| k) \(9 \cdot \square = -54\) | l) \(\square \cdot 5 = 25\) |
| m) \((-6) \cdot \square = 42\) | n) \(\square \cdot (-4) = 12\) |
| o) \(11 \cdot \square = -33\) | p) \(\square \cdot 7 = -49\) |
| q) \((-10) \cdot \square = 100\) | r) \(\square \cdot 2 = 8\) |
| s) \(15 \cdot \square = -45\) | t) \(\square \cdot (-9) = 81\) |
Aufgabe 5: Berechne mit Dezimalzahlen.
| a) \( 2{,}5 \cdot 4 = \square \) | e) \( (-2{,}5) \cdot 4 = \square \) |
| b) \( 3{,}2 \cdot (-5) = \square \) | f) \( (-3{,}2) \cdot (-5) = \square \) |
| c) \( 1{,}7 \cdot 6 = \square \) | g) \( (-1{,}7) \cdot 6 = \square \) |
| d) \( 4{,}8 \cdot (-3) = \square \) | h) \( (-4{,}8) \cdot (-3) = \square \) |