Quadratzahlen und Quadratwurzeln
Einstieg
Alle Quadratzahlen haben eine Gemeinsamkeit!
Definition: Quadratzahl
Eine Quadratzahl entsteht, wenn eine rationale Zahl mit sich selbst multipliziert wird.
Beispiele: \( 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 \) und \( (-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16 \).
Beim Quadrieren einer Zahl entsteht nie ein negatives Ergebnis.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Quadriere die positiven Zahlen.
| a) \( 3^2 = \square \) | e) \( 11^2 = \square \) |
| b) \( 7^2 = \square \) | f) \( 15^2 = \square \) |
| c) \( 9^2 = \square \) | g) \( 20^2 = \square \) |
| d) \( 12^2 = \square \) | h) \( 25^2 = \square \) |
Aufgabe 2: Quadriere die negativen Zahlen. Achte auf die Klammern.
| a) \( (-3)^2 = \square \) | e) \( (-11)^2 = \square \) |
| b) \( (-7)^2 = \square \) | f) \( (-15)^2 = \square \) |
| c) \( (-9)^2 = \square \) | g) \( (-20)^2 = \square \) |
| d) \( (-12)^2 = \square \) | h) \( (-25)^2 = \square \) |
Aufgabe 3: Berechne. Achte genau darauf, ob Klammern gesetzt sind.
| Mit Klammer | Ohne Klammer |
|---|---|
| a) \( (-4)^2 = \square \) | e) \( -4^2 = \square \) |
| b) \( (-6)^2 = \square \) | f) \( -6^2 = \square \) |
| c) \( (-10)^2 = \square \) | g) \( -10^2 = \square \) |
| d) \( (-13)^2 = \square \) | h) \( -13^2 = \square \) |
Erkläre anschließend den Unterschied zwischen \( (-5)^2 \) und \( -5^2 \).
| \( (-5)^2 \) bedeutet: ____________________________________________________________ |
| \( -5^2 \) bedeutet: ____________________________________________________________ |
| Deshalb gilt: \( (-5)^2 = \square \), aber \( -5^2 = \square \). |
Definition: KEPS
KEPS – Die goldene Regel der Mathematik: Erst die Klammer, dann der Exponent, vor der Punktrechnung und zum Schluss die Strichrechnung!
Abkürzung | Bedeutung | Beispiel (ohne Zusammenhang) | Beispiel mit Zusammenhang |
|---|---|---|---|
K | Klammer | \[(3+5)\cdot 2 = 16\] | \[2 + (5 - 2)^2 \cdot 5\] |
E | Exponent | \[3^2 + 2 = 11\] | \[= 2 + 3^2 \cdot 5\] |
P | Punktrechnung | \[3 + 5 \cdot 2 = 13\] | \[= 2 + 9 \cdot 5\] |
S | Strichrechnung | \[7 - 4 = 3\] | \[= 2 + 45 = 47\] |
Wichtig: Sind zwei Rechenzeichen gleichwertig (z. B. nur Punkt- oder nur Strichrechnung), rechnest du strikt von links nach rechts.
Aufgabe 4: Berechne mit Dezimalbrüchen. Nutze bei Bedarf den Taschenrechner.
| a) \( 1{,}5^2 = \square \) | e) \( (-1{,}5)^2 = \square \) |
| b) \( 2{,}4^2 = \square \) | f) \( (-2{,}4)^2 = \square \) |
| c) \( 0{,}7^2 = \square \) | g) \( (-0{,}7)^2 = \square \) |
| d) \( 3{,}25^2 = \square \) | h) \( (-3{,}25)^2 = \square \) |
Aufgabe 5: Berechne mit Brüchen.
| a) \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \square \) | e) \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \square \) |
| b) \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \square \) | f) \( \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \square \) |
| c) \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \square \) | g) \( \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \square \) |
| d) \( \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \square \) | h) \( \left(-\frac{5}{6}\right)^2 = \square \) |
Aufgabe 6: Erkläre, was passiert.
| a) Warum ist \( (-8)^2 \) positiv? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ |
| b) Warum ist \( -8^2 \) negativ? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ |
| c) Was muss man beim Eingeben in den Taschenrechner beachten? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ |
Aufgabe 7: Entscheide ohne vollständige Rechnung, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist.
| a) \( (-14)^2 \rightarrow \square \) | e) \( -14^2 \rightarrow \square \) |
| b) \( (-2{,}8)^2 \rightarrow \square \) | f) \( -2{,}8^2 \rightarrow \square \) |
| c) \( \left(-\frac{3}{5}\right)^2 \rightarrow \square \) | g) \( -\left(\frac{3}{5}\right)^2 \rightarrow \square \) |
| d) \( 0^2 \rightarrow \square \) | h) \( -0^2 \rightarrow \square \) |
Aufgabe 8: Finde passende Zahlen.
| a) \( \square^2 = 49 \) | e) \( \square^2 = 144 \) |
| b) \( \square^2 = 100 \) | f) \( \square^2 = 225 \) |
| c) \( \square^2 = 0{,}25 \) | g) \( \square^2 = \frac{1}{4} \) |
| d) \( \square^2 = 2{,}25 \) | h) \( \square^2 = \frac{9}{16} \) |
Achte darauf: Meist gibt es zwei passende Zahlen.
In einer Schule gibt es 100 Spinde. Anfangs sind alle Türen geschlossen.
100 Schülerinnen und Schüler gehen nacheinander an den Spinden vorbei. Der erste verändert jeden Spind, der zweite jeden zweiten, der dritte jeden dritten usw.
Bei jedem Besuch wird der Zustand der Tür umgekehrt: Geschlossen wird geöffnet und geöffnet wird geschlossen.
Alle 100 Schüler sind fertig!
Welche Spinde sind jetzt noch geöffnet? Versuche, eine Regelmäßigkeit zu erkennen.
Diese Spinde bleiben offen:
Hausaufgabe
Lerne diese Liste der häufigen Quadratzahlen auswendig!
Aufgabe 9: Berechne die Quadratzahlen. Lerne diese auswendig.
| a) \( 1^2 = \square \) | k) \( 11^2 = \square \) | u) \( 21^2 = \square \) |
| b) \( 2^2 = \square \) | l) \( 12^2 = \square \) | v) \( 22^2 = \square \) |
| c) \( 3^2 = \square \) | m) \( 13^2 = \square \) | w) \( 23^2 = \square \) |
| d) \( 4^2 = \square \) | n) \( 14^2 = \square \) | x) \( 24^2 = \square \) |
| e) \( 5^2 = \square \) | o) \( 15^2 = \square \) | y) \( 25^2 = \square \) |
| f) \( 6^2 = \square \) | p) \( 16^2 = \square \) | z) \( 26^2 = \square \) |
| g) \( 7^2 = \square \) | q) \( 17^2 = \square \) | aa) \( 27^2 = \square \) |
| h) \( 8^2 = \square \) | r) \( 18^2 = \square \) | ab) \( 28^2 = \square \) |
| i) \( 9^2 = \square \) | s) \( 19^2 = \square \) | ac) \( 29^2 = \square \) |
| j) \( 10^2 = \square \) | t) \( 20^2 = \square \) | ad) \( 30^2 = \square \) |