Klammern auflösen (Faktor mal Summe)
Wiederholung
Aufgabe E1: Fasse die Terme zusammen.
| a)\(3xy + 4xz + 2xy - 7 zx=\) | b)\(5a + 11 + 7a=\) | c)\( r + 5r² - 9r + 8r²-5r=\) |
| d)\(14yz - 4zy=\) | e)\(2,2abc-3,1abc+0,2abc=\) | f)\(-9rt + rt=\) |
Aufgabe E2: Zerlege in eine Summe aus zwei Summanden.
| a)\(16x=\) | b)\(9h=\) | c)\(24ab=\) |
| d)\(6s²=\) | e)\(20yz²=\) | f)\(12b²x³=\) |
Aufgabe E3: Schreibe als Potenz.
| a)\( x \cdot 2x \cdot 2x²=\) | b)\( a \cdot b \cdot ab \cdot ac=\) |
| c)\( 2 \cdot 2 \cdot 2² \cdot 2²=\) | d)\( abc \cdot cba \cdot bca \cdot bac \cdot a=\) |
Klammerarten
"Plusklammern"
Terme mit einem Additionszeichen vor der Klammer.
\[\large+(3 - x)\]
\[\large+(x \cdot y + 4)\]
\[\large(x - 3)\]
"Minusklammern"
Terme mit einem Subtraktionszeichen vor der Klammer.
\[\large-(3 - x)\]
\[\large-(x \cdot y + 4)\]
\[\large-(x - 3)\]
"Malklammern"
Terme mit einem Faktor vor der Klammer.
\[\large-5(3 - x)\]
\[\large 2(x \cdot y + 4)\]
\[\large y \cdot (x - 3)\]
Potenzklammern
Terme mit einer Potenz nach der Klammer.
\[\large(3 - x)^2\]
\[\large(x \cdot y + 4)^5\]
\[\large(x - 3)^x\]
Pluszeichen vor der Klammer [TIMER:600]
Aufgabe 1: Berechne jeweils den Termwert. Vergleiche jeweils die passenden Aufgaben.
a) \(5 + 3 + 7\) a') \((5 + 3) + 7\) | b) \(2 - 6 + 4\) b') \((2 - 6) + 4\) | c) \(8 + 2 - 1\) c') \(8 + (2 - 1)\) |
d) \(4 + 1 + 9\) d') \(4 + (1 + 9)\) | e) \(7 - 5 + 6\) e') \((7 - 5) + 6\) | f) \(3 + 9 - 2\) f') \((3 + 9) - 2\) |
g) \(1 + 6 + 8\) g') \(1 + (6 + 8)\) | h) \(5 + 2 - 3\) h') \(5 + (2 - 3)\) | i) \(9 + 7 + 4\) i') \((9 + 7) + 4\) |
Aufgabe 2:
a) Formuliere eine geeignete Regel für Klammern innerhalb von Termen, vor denen ein Plus steht.
b) Formuliere auch eine geeignete Regel für Klammern, vor denen nichts steht.
"Plusklammern"
Regeltext
"Plusklammern"
Wenn vor einer Klammer kein Vorzeichen oder ein Pluszeichen steht, kann die Klammer weggelassen werden.
Beispiele:
| \(5 + (\color{red}{3 - 7}\color{black}) = 5 + (-4) = 1\) | \(5 \color{red}{+ (}\color{black}3- 7\color{red}{)}\color{black} = 5 + 3 - 7 = 1\) |
| \((\color{red}2 + 6\color{black}) + 4 = 8 + 4 = 12\) | \(\color{red}(\color{black}2+6\color{red})\color{black} + 4 = 2 + 6 + 4 = 12\) |
| \(8 + (\color{red}2 + 1\color{black}) = 8 + 3 = 11\) | \(8 \color{red}+ (\color{black}2 + 1\color{red})\color{black} = 8 + 2 + 1 = 11\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:1200]
Aufgabe 3: Löse zuerst die Klammern auf und fasse anschließend den Term zusammen.
| a) \(3x + (2x + 5)= \square\) | f) \(3x + 2y + (x - y)= \square\) | k) \(2x + (3x + y) + (x - 2y)= \square\) |
| b) \(7x - 4 + (x + 9)= \square\) | g) \(5x - 3y + (2x + y)= \square\) | l) \(5y + (x - y) + (2x + 3y)= \square\) |
| c) \(5x + (3x - 2)= \square\) | h) \(7y + (3x - 2y)= \square\) | m) \(3x - 4 + (x + 2y + 1) + (2x - y)= \square\) |
| d) \(12 + (4x - 7) + x= \square\) | i) \(4x + (2x + 3y - 1)= \square\) | n) \(7x + (2y - x) + (3x + 4y - 5)= \square\) |
| e) \(9x + 6 + (2x - 8)= \square\) | j) \(6y - 5 + (x + y + 2)= \square\) | o) \(4y + (x + y - 3) + (2x - 2y + 6)= \square\) |
| p) \(x + (2x + (3y - 1))= \square\) | u) \(x + (y + 1) + (2x - y) + (x + 2)= \square\) |
| q) \(3y + (x - 2y + (x + y))= \square\) | v) \(2x + (y - 3 + (x + 1)) + (2y + 4) + (x - 2y)= \square\) |
| r) \(2x + (3y - 4 + (x - y))= \square\) | w) \(x + (y + (x + (y + 1))) + (2x - y)= \square\) |
| s) \(5x - 3 + (2y + (x + 2y - 1))= \square\) | x) \(2x + (3y - 1) + (x + y + (2x - 3y + (x + 2))) + (y - 4)= \square\) |
| t) \(4y + (x + 3y + (2x - y - 2))= \square\) | y) \(3y + (x - y + 2) + (2x + 3y) + (x + (y - 1)) + (x - 2y + 5)= \square\) |
Minuszeichen vor der Klammer [TIMER:720]
Aufgabe 4: Berechne jeweils die Termwerte und formuliere eine geeignete Regel für den Umgang mit Minuszeichen vor Klammern.
a) \(-(3 + 4) + 5\) a') \(-3 + 4 + 5\) a'') \(-3 - 4 + 5\) | b) \(5 - (2 - 5)\) b') \(5 - 2 - 5\) b'') \(5 - 2 + 5\) | c) \(- (6 + 1) - 2\) c') \(- 6 + 1 - 2\) c'') \(- 6 - 1 - 2\) |
d) \(3 - (4 - 9)\) d') \(3 - 4 - 9\) d'') \(3 - 4 + 9\) | e) \(-(7 + 6) + 2\) e') \(-7 + 6 + 2\) e'') \(-7 - 6 + 2\) | f) \(4 - (3 - 2)\) f') \(4 - 3 - 2\) f'') \(4 - 3 + 2\) |
g) \(6 - (1 + 8)\) g') \(6 - 1 + 8\) g'') \(6 - 1 - 8\) | h) \(- (5 - 3) - 7\) h') \(- 5 - 3 - 7\) h'') \(- 5 + 3 - 7\) | i) \(- (9 + 4) + 8\) i') \(- 9 + 4 + 8\) i'') \(- 9 - 4 + 8\) |
"Minusklammern"
Regeltext
"Minusklammern"
Wenn vor einer Klammer ein Minuszeichen steht, kann die Klammer weggelassen werden, indem alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umgekehrt werden.
- Aus + wird -
- Aus - wird +
- Wenn vorher kein Rechenzeichen stand, steht hinterher ein -
Beispiele:
| \(5 - (3 - 7) = 5 - (-4) = 9\) | \(5 - (3-7) = 5 - 3 + 7 = 9\) |
| \(-(2 + 6) + 4 = -8 + 4 = -4\) | \(-(2+6) + 4 = -2 - 6 + 4 = -4\) |
| \(8 - (-2 + 1) = 8 - (-1) = 9\) | \(8 - (-2 + 1) = 8 + 2 - 1 = 9\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:540]
Aufgabe 5: Schreibe erst ohne Klammern und berechne dann.
| a) \((3 + 4) - 2\) | f) \(-(3 + 2) + 4\) |
| b) \(2 - (5 + 3)\) | g) \(1 + (8 - 6)\) |
| c) \((6 - 1) + 2\) | h) \(-(5 + 3) - 7\) |
| d) \(4 - (9 + 3)\) | i) \(- (9 - 4) + 8\) |
| e) \((7 + 6) - 2\) | j) \(9 + (8 - 2)\) |
Aufgabe 6: Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
| a) \((7x + 9) - x\) | f) \(x - (x + 2)\) |
| b) \(3y - (2y + 5)\) | g) \(2z + (5 - 3z)\) |
| c) \((a + b) + 2b\) | h) \(-(3a + b) - 2b\) |
| d) \(2x - (8 - x)\) | i) \(5b - (a - 2b)\) |
| e) \((4y + 6) - 2y\) | j) \(7y - (4y + 2z)\) |
Erinnerung [TIMER:420]
Addition von Termen
Gleichartige Terme darf man addieren oder subtrahieren, indem man ihre Koeffizienten zusammenfasst.
| Beispiel: | |
| \(3x + 5x = 8x\) | \(13 - 4 = 9\) |
Multiplikation von Termen
Beim Multiplizieren werden die Koeffizienten miteinander multipliziert und die Variablen potenziert.
| Beispiel: | |
| \(2x \cdot 3x = 6x^2\) | \(- 4 \cdot 2x = -8x\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:2100]
Aufgabe 7 : Löse die Klammern auf und fasse zusammen.
| Beispiel: | |
| \[\begin{align*}&-x+(-3x+4) \\=& -x - 3x + 4 \\= &-4x + 4\end{align*}\] | \[\begin{align*}&-x-(-3x+4) \\=& -x + 3x - 4 \\= &2x - 4\end{align*}\] |
| a) \(5x-(-x + 2) + 2x \quad \circ\) | \(\circ \quad 8x + 3\) |
| b) \(2x-(-2x - 3) + 4x \quad \circ\) | \(\circ \quad -x + 6\) |
| c) \(3x-(-4x + 1) - x \quad \circ\) | \(\circ \quad 4x - 4\) |
| d) \(-x-(-3x + 4) + 2x \quad \circ\) | \(\circ \quad 4x -1\) |
| e) \(4x-(-x - 5) - 3x \quad \circ\) | \(\circ \quad 8x - 2\) |
| f) \(-2x-(-3x + 2) + x \quad \circ\) | \(\circ \quad 2x - 2\) |
| g) \(x-(-2x + 4) + 3x \quad \circ\) | \(\circ \quad 2x + 5\) |
| h) \(2x-(-x - 6) - 4x \quad \circ\) | \(\circ \quad 6x + 4\) |
| i) \(-3x-(-5x + 1) + 2x \quad \circ\) | \(\circ \quad 6x - 1\) |
| j) \(5x-(-2x - 4) - x \quad \circ\) | \(\circ \quad 6x - 4\) |
Aufgabe 8: Löse zuerst die Klammern auf. Fasse zusammen.
| Beispiel: |
| \[ \begin{align*} & 3x + (2x - 4) - (5x + 1) \\ =\;& 3x + 2x - 4 - 5x - 1 \\ =\;& x - 5 \end{align*} \] |
| a) \(4x + (3x + 2) - (4x - 5) \quad \circ\) | \(\circ \quad 2x - 5\) |
| b) \(3 - (5x - 3) + (2x + 4) \quad \circ\) | \(\circ \quad -2x+2\) |
| c) \(-2x + (7x + 1) - (3x + 6) \quad \circ\) | \(\circ \quad 2x + 6\) |
| d) \(5 + (4x - 2) - (2x - 3) \quad \circ\) | \(\circ \quad -3x + 10\) |
| e) \(x + (6x + 5) + (3x - 1) \quad \circ\) | \(\circ \quad 10x\) |
| f) \(-3 + (9x - 4) + (x + 7) \quad \circ\) | \(\circ \quad 3x+7\) |
| g) \(2x - (8x + 3) + (5x + 2) \quad \circ\) | \(\circ \quad 5x + 5\) |
| h) \(-x + (2x - 1) + (4x + 6) \quad \circ\) | \(\circ \quad 10x + 4\) |
| i) \(6 - (7x - 5) - (2x - 1) \quad \circ\) | \(\circ \quad -9x+12\) |
| j) \(x + (3x + 4) - (6x + 2) \quad \circ\) | \(\circ \quad -x-1\) |
Aufgabe 9 : Löse die Klammern auf. Bei verschachtelten Klammern musst du die Klammern von innen nach außen auflösen.
| a) \((x + (2x - 3)) - ((4x + 5) - 1)\) |
| b) \((3x - (4 + x - 2)) + (2x + 5)\) |
| c) \(((2 + 3x) - (x - 5)) - (4 + x)\) |
| d) \((x + (2 - (2x + 3))) - 4x\) |
| e) \((4x - (3x + (2 + x))) - (5x - 1)\) |
| f) \((3 - (5x + (x - 2))) + (2 + 4x)\) |
| g) \((2 + (4 - (3 - x))) - (2x + 5)\) |
| h) \((5x - 1) + ((2x - 1) - 3)\) |
| i) \((x - (4x - (2 - 3x))) - 3\) |
| j) \((2 + (3x - (4 - x))) - (5 + x)\) |
Zusammenfassung
Es kann vorkommen, dass du Klammern hast, vor denen nur ein Vorzeichen/Rechenzeichen zur Addition oder Subtraktion steht.
Regel 1: Wenn ein Pluszeichen (+) vor der Klammer steht, kann die Klammer weggelassen werden.
Regel 2: Wenn ein Minuszeichen (-) vor der Klammer steht, werden alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt.
Zusammenfassung [TIMER:420]
Plusklammer
Beim Auflösen einer Plusklammer bleiben alle Vorzeichen in der Klammer erhalten.
| Beispiel: | |
| \(+ (3x - 2) = 3x - 2\) | \(+(-x + 5) = -x + 5\) |
Minusklammer
Beim Auflösen einer Minusklammer werden alle Vorzeichen in der Klammer geändert.
| Beispiel: | |
| \(- (3x - 2) = -3x + 2\) | \(-(-x + 5) = x - 5\) |
Weitere Übungen
Westermann Mathematik 8 MV (2020)
| Thema | Buch | Arbeitsheft |
|---|---|---|
| Klammern auflösen | --- | --- |